(1) $a = 3 - 2\sqrt{2}$ のとき、$2a^4 - 8a^3 - 21a^2 - a + 2$ の値を求める。 (2) $\sqrt{5}$ の小数部分を $a$ とおくとき、$a^3 + \frac{1}{a^3}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $a = 3 - 2\sqrt{2}$ のとき、$2a^4 - 8a^3 - 21a^2 - a + 2$ の値を求める。

(2) $\sqrt{5}$ の小数部分を $a$ とおくとき、$a^3 + \frac{1}{a^3}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = 3 - 2\sqrt{2}$ より、

$a - 3 = -2\sqrt{2}$

両辺を2乗して、

$(a - 3)^2 = (-2\sqrt{2})^2$

$a^2 - 6a + 9 = 8$

$a^2 - 6a + 1 = 0$

$a^2 = 6a - 1$

この関係式を利用して、与えられた式を次数下げしていく。

$2a^4 - 8a^3 - 21a^2 - a + 2 = 2a^2(a^2) - 8a(a^2) - 21a^2 - a + 2$

$= 2a^2(6a - 1) - 8a(6a - 1) - 21a^2 - a + 2$

$= 12a^3 - 2a^2 - 48a^2 + 8a - 21a^2 - a + 2$

$= 12a^3 - 71a^2 + 7a + 2$

$= 12a(a^2) - 71a^2 + 7a + 2$

$= 12a(6a - 1) - 71a^2 + 7a + 2$

$= 72a^2 - 12a - 71a^2 + 7a + 2$

$= a^2 - 5a + 2$

$= (6a - 1) - 5a + 2$

$= a + 1$

$a = 3 - 2\sqrt{2}$ を代入して、

$a + 1 = 3 - 2\sqrt{2} + 1 = 4 - 2\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{5}$ の小数部分を $a$ とおく。

$2 < \sqrt{5} < 3$ より、$\sqrt{5}$ の整数部分は $2$ である。

したがって、$a = \sqrt{5} - 2$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

$a + \frac{1}{a} = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}$

求める値は $a^3 + \frac{1}{a^3}$ であり、これは $(a + \frac{1}{a})^3 - 3(a + \frac{1}{a})$ に等しい。

$a^3 + \frac{1}{a^3} = (2\sqrt{5})^3 - 3(2\sqrt{5}) = 8(5\sqrt{5}) - 6\sqrt{5} = 40\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 34\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $4 - 2\sqrt{2}$

(2) $34\sqrt{5}$