与えられた2つの数を解とする2次方程式を求める問題です。 (1)の解は $2+\sqrt{3}$と$2-\sqrt{3}$、 (2)の解は $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$と$\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$です。

1. 問題の内容

与えられた2つの数を解とする2次方程式を求める問題です。

(1)の解は $2+\sqrt{3}$と$2-\sqrt{3}$、

(2)の解は $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$と$\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$です。

2. 解き方の手順

2次方程式の解を$\alpha, \beta$とすると、2次方程式は

$$(x - \alpha)(x - \beta) = 0$$

と表せます。これを展開すると

$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$

となります。つまり、解の和$(\alpha + \beta)$と解の積$(\alpha\beta)$を求めれば、2次方程式を求めることができます。

(1) $\alpha = 2 + \sqrt{3}, \beta = 2 - \sqrt{3}$のとき

和：$\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

積：$\alpha \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

したがって、2次方程式は

$$x^2 - 4x + 1 = 0$$

(2) $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$のとき

和：$\alpha + \beta = \frac{1+\sqrt{3}i}{2} + \frac{1-\sqrt{3}i}{2} = \frac{(1+\sqrt{3}i) + (1-\sqrt{3}i)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

積：$\alpha \beta = \frac{1+\sqrt{3}i}{2} \cdot \frac{1-\sqrt{3}i}{2} = \frac{(1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)}{4} = \frac{1^2 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{1 - (3i^2)}{4} = \frac{1 - (-3)}{4} = \frac{4}{4} = 1$

したがって、2次方程式は

$$x^2 - x + 1 = 0$$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4x + 1 = 0$

(2) $x^2 - x + 1 = 0$