与えられた2次関数 $y = -\frac{1}{4}x^2 - kx - 2k^2 + 4k + 9$ に関する問題です。 (1) 放物線Cが点(0, 3)を通るときの $k$ の値を求める。 (2) $k$ が整数のとき、放物線Cの頂点が直線 $y = -\frac{1}{4}x + 12$ 上にあるときの $k$ の値を求める。 (3) $k = -2$ のとき、$2 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。 (4) $k = 0$ とし、$q > -9$ を満たす定数 $q$ に対して、放物線Cを $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の頂点をP、$x$ 軸との交点をA, Bとする。このとき、AB = $8\sqrt{3}$ となるような $q$ の値を求め、さらに三角形PABの面積が16となるような $q$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -\frac{1}{4}x^2 - kx - 2k^2 + 4k + 9$ に関する問題です。

(1) 放物線Cが点(0, 3)を通るときの $k$ の値を求める。

(2) $k$ が整数のとき、放物線Cの頂点が直線 $y = -\frac{1}{4}x + 12$ 上にあるときの $k$ の値を求める。

(3) $k = -2$ のとき、$2 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

(4) $k = 0$ とし、$q > -9$ を満たす定数 $q$ に対して、放物線Cを $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の頂点をP、$x$ 軸との交点をA, Bとする。このとき、AB = $8\sqrt{3}$ となるような $q$ の値を求め、さらに三角形PABの面積が16となるような $q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線Cが点(0, 3)を通るので、$x = 0$, $y = 3$ を代入する。

$3 = -\frac{1}{4}(0)^2 - k(0) - 2k^2 + 4k + 9$

$0 = -2k^2 + 4k + 6$

$k^2 - 2k - 3 = 0$

$(k - 3)(k + 1) = 0$

$k = 3, -1$

よって、7の答えは、ア. 1, 3 とウ. -1, 3の組み合わせなので、ウ. -1,3

(2) 放物線Cの式を平方完成する。

$y = -\frac{1}{4}(x^2 + 4kx) - 2k^2 + 4k + 9$

$y = -\frac{1}{4}(x + 2k)^2 + k^2 - 2k^2 + 4k + 9$

$y = -\frac{1}{4}(x + 2k)^2 - k^2 + 4k + 9$

頂点の座標は $(-2k, -k^2 + 4k + 9)$。

この頂点が直線 $y = -\frac{1}{4}x + 12$ 上にあるので、

$-k^2 + 4k + 9 = -\frac{1}{4}(-2k) + 12$

$-k^2 + 4k + 9 = \frac{1}{2}k + 12$

$-k^2 + \frac{7}{2}k - 3 = 0$

$2k^2 - 7k + 6 = 0$

$(2k - 3)(k - 2) = 0$

$k = \frac{3}{2}, 2$

$k$ は整数なので、$k = 2$。

よって、8の答えは、ウ. 2

(3) $k = -2$ のとき、関数は

$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 - (-2)x - 2(-2)^2 + 4(-2) + 9$

$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x - 8 - 8 + 9$

$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x - 7$

$f(x) = -\frac{1}{4}(x^2 - 8x) - 7$

$f(x) = -\frac{1}{4}(x - 4)^2 + 4 - 7$

$f(x) = -\frac{1}{4}(x - 4)^2 - 3$

軸は $x = 4$ で、$2 \le x \le 5$ の範囲にある。

$x = 2$ のとき、$f(2) = -\frac{1}{4}(2 - 4)^2 - 3 = -\frac{1}{4}(4) - 3 = -1 - 3 = -4$

$x = 4$ のとき、$f(4) = -3$

$x = 5$ のとき、$f(5) = -\frac{1}{4}(5 - 4)^2 - 3 = -\frac{1}{4} - 3 = -\frac{13}{4}$

最大値は $-4$, 最小値は $-\frac{13}{4}$

よって、9の答えは、イ. -3　10の答えは、エ. $-\frac{13}{4}$

(4) $k = 0$ のとき、$y = -\frac{1}{4}x^2 + 9$

$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、 $y = -\frac{1}{4}x^2 + 9 + q$

頂点の座標は $(0, 9 + q)$。

$y = 0$ とすると、$0 = -\frac{1}{4}x^2 + 9 + q$

$\frac{1}{4}x^2 = 9 + q$

$x^2 = 4(9 + q)$

$x = \pm 2\sqrt{9 + q}$

$A = -2\sqrt{9 + q}, B = 2\sqrt{9 + q}$

$AB = 4\sqrt{9 + q}$

$4\sqrt{9 + q} = 8\sqrt{3}$

$\sqrt{9 + q} = 2\sqrt{3}$

$9 + q = 12$

$q = 3$

よって、11の答えは、エ. 3

三角形PABの面積は $\frac{1}{2} \times AB \times |9 + q| = 16$

$\frac{1}{2} \times 8\sqrt{3} \times |9 + q| = 16$

$4\sqrt{3}|9 + q| = 16$

$|9 + q| = \frac{16}{4\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

$9 + q = \pm \frac{4\sqrt{3}}{3}$

$q = -9 \pm \frac{4\sqrt{3}}{3}$

三角形PABの面積の式が間違っている。頂点のy座標は $9+q$ なので高さは $|9+q|$。底辺は$2 \times x$軸との交点なので$4 \sqrt{9+q}$

面積=$\frac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ=$2\sqrt{9+q}(9+q)=16$

$\sqrt{9+q}(9+q)=8$

$(9+q)^{3/2} = 8$

$9+q = 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$

$q = -5$

よって、12の答えは、ア. -5

3. 最終的な答え

(1) -1, 3

(2) 2

(3) 最大値: -3, 最小値: -13/4

(4) q = 3, q = -5