放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を、$x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した後、$x$ 軸に関して対称移動したものが、$y = 2x^2 + cx + b$ となる。このとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を、$x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した後、$x$ 軸に関して対称移動したものが、$y = 2x^2 + cx + b$ となる。このとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動する。平行移動後の放物線の方程式は、

$y + 1 = a(x - 3)^2 + b(x - 3) + c$

となる。整理すると、

$y = a(x^2 - 6x + 9) + b(x - 3) + c - 1$

$y = ax^2 - 6ax + 9a + bx - 3b + c - 1$

$y = ax^2 + (-6a + b)x + (9a - 3b + c - 1)$

次に、$x$ 軸に関して対称移動する。対称移動後の放物線の方程式は、$y$ を $-y$ に置き換えることで得られるから、

$-y = ax^2 + (-6a + b)x + (9a - 3b + c - 1)$

$y = -ax^2 - (-6a + b)x - (9a - 3b + c - 1)$

$y = -ax^2 + (6a - b)x - 9a + 3b - c + 1$

これが $y = 2x^2 + cx + b$ と一致するので、各項の係数を比較して、

$-a = 2$

$6a - b = c$

$-9a + 3b - c + 1 = b$

これらの式から、$a, b, c$ を求める。

まず、$-a = 2$ より、$a = -2$ である。

次に、$6a - b = c$ に $a = -2$ を代入して、$6(-2) - b = c$ より、$-12 - b = c$ となる。

$-9a + 3b - c + 1 = b$ に $a = -2$ を代入して、$-9(-2) + 3b - c + 1 = b$ より、$18 + 3b - c + 1 = b$

$19 + 3b - c = b$

$2b - c = -19$

$-12 - b = c$ を $2b - c = -19$ に代入して、$2b - (-12 - b) = -19$ より、$2b + 12 + b = -19$

$3b = -19 - 12$

$3b = -31$

$b = -\frac{31}{3}$

$c = -12 - b = -12 - (-\frac{31}{3}) = -12 + \frac{31}{3} = \frac{-36 + 31}{3} = -\frac{5}{3}$

したがって、$a = -2$, $b = -\frac{31}{3}$, $c = -\frac{5}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = -\frac{31}{3}$, $c = -\frac{5}{3}$