整式 $(1-x^2)^6 (1-x^3)^4$ の展開式における $x^2$ の項の係数と $x^{12}$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $(1-x^2)^6 (1-x^3)^4$ の展開式における $x^2$ の項の係数と $x^{12}$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(1-x^2)^6$ と $(1-x^3)^4$ をそれぞれ二項定理を用いて展開します。

$(1-x^2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} (-x^2)^k = \binom{6}{0} - \binom{6}{1}x^2 + \binom{6}{2}x^4 - \binom{6}{3}x^6 + \binom{6}{4}x^8 - \binom{6}{5}x^{10} + \binom{6}{6}x^{12}$

$(1-x^3)^4 = \sum_{l=0}^{4} \binom{4}{l} (-x^3)^l = \binom{4}{0} - \binom{4}{1}x^3 + \binom{4}{2}x^6 - \binom{4}{3}x^9 + \binom{4}{4}x^{12}$

$x^2$ の項の係数を求めます。

$(1-x^2)^6$ の展開式において $x^2$ の項は $-\binom{6}{1}x^2 = -6x^2$ であり、$(1-x^3)^4$ の展開式において定数項は $\binom{4}{0} = 1$ です。

したがって、$x^2$ の項の係数は $-6 \times 1 = -6$ です。

$x^{12}$ の項の係数を求めます。

$(1-x^2)^6$ の展開式において $x^{12}$ の項は $\binom{6}{6}x^{12} = x^{12}$ であり、定数項は $\binom{6}{0} = 1$ です。

$(1-x^3)^4$ の展開式において $x^{12}$ の項は $\binom{4}{4}x^{12} = x^{12}$ であり、$x^6$ の項は $\binom{4}{2}x^6 = 6x^6$ です。

$(1-x^2)^6$ の展開式において $x^6$ の項は $-\binom{6}{3}x^6 = -20x^6$ です。

$x^{12}$ の項は、次の組み合わせから生成されます。

\begin{itemize}

\item $(1-x^2)^6$ の定数項と $(1-x^3)^4$ の $x^{12}$ の項: $1 \times 1 = 1$

\item $(1-x^2)^6$ の $x^6$ の項と $(1-x^3)^4$ の $x^6$ の項: $-20 \times 6 = -120$

\item $(1-x^2)^6$ の $x^{12}$ の項と $(1-x^3)^4$ の定数項: $1 \times 1 = 1$

\end{itemize}

したがって、$x^{12}$ の項の係数は $1 - 120 + 1 = -118$ です。

3. 最終的な答え

$x^2$ の項の係数は -6 です。

$x^{12}$ の項の係数は -118 です。