2つの2次方程式 $x^2 - (k-1)x - k^2 = 0$ と $x^2 - 2kx + k = 0$ がただ一つの共通解を持つとき、$k$ の値を小さい順に求め、それぞれの $k$ の値に対する共通解を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 - (k-1)x - k^2 = 0$ と $x^2 - 2kx + k = 0$ がただ一つの共通解を持つとき、$k$ の値を小さい順に求め、それぞれの $k$ の値に対する共通解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、共通解を $\alpha$ とします。すると、以下の2式が成り立ちます。

$\alpha^2 - (k-1)\alpha - k^2 = 0$ (1)

$\alpha^2 - 2k\alpha + k = 0$ (2)

(1) - (2) より、

$(-\alpha + k\alpha) - k^2 - k = 0$

$(k-1)\alpha = k^2 + k$

もし $k = 1$ ならば、$0 = 1^2 + 1 = 2$ となり矛盾が生じるため、$k \neq 1$ です。したがって、

$\alpha = \frac{k^2 + k}{k-1}$ (3)

(3)を(2)に代入すると、

$(\frac{k^2 + k}{k-1})^2 - 2k(\frac{k^2 + k}{k-1}) + k = 0$

$k$ で割って、(ただし、$k=0$ の場合、$x=0$が共通解となる。$x^2+x=0$と$x^2=0$となるので、$k=0$のとき、ただ一つの共通解を持つ。$k=0,x=0$は解)

$\frac{(k^2 + k)^2}{(k-1)^2} - 2k\frac{k^2 + k}{k-1} + k = 0$

$\frac{k(k+1)^2}{(k-1)^2} - 2\frac{k(k+1)}{k-1} + 1 = 0$

$k(k+1)^2 - 2k(k+1)(k-1) + (k-1)^2 = 0$

$k(k^2 + 2k + 1) - 2k(k^2 - 1) + (k^2 - 2k + 1) = 0$

$k^3 + 2k^2 + k - 2k^3 + 2k + k^2 - 2k + 1 = 0$

$-k^3 + 3k^2 + k + 1 = 0$

$k^3 - 3k^2 - k - 1 = 0$

ここで、上記の式に(2)を代入するのは複雑なので、(3)を(1)(2)に代入した式を(1)から(2)を引いた式に代入する戦略に戻ります。

(3)を$\alpha = \frac{k(k+1)}{k-1}$を(2)に代入します。

$(\frac{k(k+1)}{k-1})^2 - 2k\frac{k(k+1)}{k-1} + k = 0$

$\frac{k^2(k+1)^2}{(k-1)^2} - \frac{2k^2(k+1)}{k-1} + k = 0$

$k(\frac{k(k+1)^2}{(k-1)^2} - \frac{2k(k+1)}{k-1} + 1) = 0$

よって$k=0$ or $\frac{k(k+1)^2}{(k-1)^2} - \frac{2k(k+1)}{k-1} + 1 = 0$

$k(k+1)^2 - 2k(k+1)(k-1) + (k-1)^2 = 0$

$k(k^2+2k+1) - 2k(k^2-1) + k^2-2k+1 = 0$

$k^3+2k^2+k -2k^3+2k + k^2 - 2k + 1 = 0$

$-k^3+3k^2+k+1=0$

$k^3 - 3k^2 - k - 1=0$

$k=0$のとき, $x^2+x = 0$と$x^2 = 0$であり、共通解は$x=0$のみ。

$k=3+\sqrt{14}$のとき、代入計算は困難なので、$k^3 - 3k^2 - k - 1=0$は正しくない？

問題文よりkの値は小さい順に並んでいるので、$k$は整数に近い値をとる可能性がある。$k=1,2,3...$を代入して探索する。

$k=4$のとき、$64-48-4-1 = 11$

$k=3$のとき、$27-27-3-1 = -4$

したがって、3と4の間に解が存在する。

ここで、(1),(2)を引き算ではなく、足し算してみる

$2x^2 -(3k-1)x -k^2 + k = 0$

解なし

問題文をよく見ると、青山学院大の文字が薄くなっている。問題文が間違っている可能性がある。

$x^2 - (k-1)x - k^2 = 0$

$x^2 - 2kx + k = 0$

k = 0 の時、$x^2+x=0, x^2=0$共通解x=0 一つ

k = -1 の時、$x^2+2x-1 = 0, x^2+2x-1=0$ 共通解は一つではなく２つ

k= 2の時、$x^2 -x -4=0, x^2 -4x+2=0$ 共通解なし

$x=k$を仮定すると、

$k^2 - (k-1)k - k^2 = -k^2 + k = 0$ より $k=0,1$

$k^2 - 2k^2 + k = -k^2 + k=0$ より$k=0,1$

$k=1$を代入すると、$x^2 - 0 - 1 = 0$ より $x = \pm 1$

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ より $x = 1$

k=1のとき共通解x=1を持つ。

したがってkの値は小さい順にk=0,1

k=0のとき共通解はx=0

k=1のとき共通解はx=1

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 1

ウ: 0

エ: 1