与えられた5つの一次変換を表す行列が、どのような幾何学的な変換に対応するかを、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた5つの一次変換を表す行列が、どのような幾何学的な変換に対応するかを、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

各行列に対して、具体的な点の座標を変換し、その結果から変換の種類を特定します。

(1) 行列 $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

点 (1, 0) を変換すると (2, 0) となり、点 (0, 1) は (0, 1) のままです。これはx軸方向に2倍に引き延ばす変換、つまり「y軸を中心として、x軸方向に引き延ばすような変換」です。

(2) 行列 $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

これは回転行列の形式で、角度 $\theta$ に対して $\cos\theta = \frac{1}{2}$ かつ $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $-\frac{\pi}{3}$、つまり-60度です。したがって、「原点周りの回転」です。

(3) 行列 $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

この行列は、$x$軸に関して対称な点に移動させる変換です。つまり、「ある直線に対して折り返す変換」です。

(4) 行列 $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

点 (x, y) を変換すると $(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$ になります。これは、すべての点を原点に近づける変換、つまり「原点に引き寄せるような変換」です。

(5) 行列 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

この行列は単位行列なので、変換しても点は移動しません。したがって、「位置を変えない変換」です。

3. 最終的な答え

(1) y軸を中心として、x軸方向に引き延ばすような変換

(2) 原点周りの回転

(3) ある直線に対して折り返す変換

(4) 原点に引き寄せるような変換

(5) 位置を変えない変換