与えられた複数の数の大小関係を不等号を用いて表す問題です。具体的には、(1) $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{9}$, $\sqrt[7]{27}$ と (2) $\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ の大小関係をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

与えられた複数の数の大小関係を不等号を用いて表す問題です。具体的には、(1) $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{9}$, $\sqrt[7]{27}$ と (2) $\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ の大小関係をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 指数を計算し、それぞれの数を3の累乗の形で表します。

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[7]{27} = \sqrt[7]{3^3} = 3^{\frac{3}{7}}$

指数部分を比較します。$\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{7}$ を通分して比較します。

$\frac{1}{3} = \frac{14}{42}$, $\frac{1}{2} = \frac{21}{42}$, $\frac{3}{7} = \frac{18}{42}$

したがって、$\frac{1}{3} < \frac{3}{7} < \frac{1}{2}$

(2) 指数を計算し、それぞれの数を2の累乗の形で表します。

$\sqrt{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = (2^{-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}} = (2^{-2})^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{4}} = (2^{-3})^{\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{3}{4}}$

指数部分を比較します。$-\frac{1}{2}$, $-\frac{2}{3}$, $-\frac{3}{4}$ を通分して比較します。

$-\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}$, $-\frac{2}{3} = -\frac{8}{12}$, $-\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}$

したがって、$-\frac{9}{12} < -\frac{8}{12} < -\frac{6}{12}$, つまり $-\frac{3}{4} < -\frac{2}{3} < -\frac{1}{2}$

指数の小さい方が大きい数なので、$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} < \sqrt[3]{\frac{1}{4}} < \sqrt{\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[3]{3} < \sqrt[7]{27} < \sqrt[4]{9}$

(2) $\sqrt[4]{\frac{1}{8}} < \sqrt[3]{\frac{1}{4}} < \sqrt{\frac{1}{2}}$