定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 2ax$ （$0 \le x \le 3$）の最小値とその時の $x$ の値を求める。また、問24の関数の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 2ax$ （$0 \le x \le 3$）の最小値とその時の $x$ の値を求める。また、問24の関数の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x^2 - 2ax$ を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2$

この関数の軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 3$ なので、軸 $x = a$ の位置によって場合分けを行います。

(1) $a < 0$ のとき

区間 $0 \le x \le 3$ で関数は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値：$y = 0^2 - 2a(0) = 0$

$x = 0$

(2) $0 \le a \le 3$ のとき

$x = a$ で最小値をとります。

最小値：$y = a^2 - 2a(a) = -a^2$

$x = a$

(3) $a > 3$ のとき

区間 $0 \le x \le 3$ で関数は単調減少なので、$x = 3$ で最小値をとります。

最小値：$y = 3^2 - 2a(3) = 9 - 6a$

$x = 3$

次に、最大値を求めます。

(1) $a < \frac{3}{2}$ のとき

$x = 3$ で最大値をとります。

最大値：$y = 3^2 - 2a(3) = 9 - 6a$

$x = 3$

(2) $a = \frac{3}{2}$ のとき

$x = 0$ と $x = 3$ で同じ最大値をとります。

最大値：$y = 0^2 - 2(\frac{3}{2})(0) = 0$ または $y = 3^2 - 2(\frac{3}{2})(3) = 9 - 9 = 0$

$x = 0, 3$

(3) $a > \frac{3}{2}$ のとき

$x = 0$ で最大値をとります。

最大値：$y = 0^2 - 2a(0) = 0$

$x = 0$

3. 最終的な答え

最小値：

$a < 0$ のとき、最小値は $0$ ($x = 0$)

$0 \le a \le 3$ のとき、最小値は $-a^2$ ($x = a$)

$a > 3$ のとき、最小値は $9 - 6a$ ($x = 3$)

最大値：

$a < \frac{3}{2}$ のとき、最大値は $9 - 6a$ ($x = 3$)

$a = \frac{3}{2}$ のとき、最大値は $0$ ($x = 0, 3$)

$a > \frac{3}{2}$ のとき、最大値は $0$ ($x = 0$)