与えられた式 $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を因数分解しやすい形に変形する。

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = a^4 - \frac{16 + 8a^2 + a^4}{a^4} = a^4 - \frac{a^4 + 8a^2 + 16}{a^4}$

分子の $a^4 + 8a^2 + 16$ は $(a^2 + 4)^2$ と因数分解できる。したがって、

$a^4 - \frac{(a^2 + 4)^2}{a^4}$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形を利用して因数分解できる。

$A = a^2$, $B = \frac{a^2 + 4}{a^2}$ とすると、

$a^4 - \frac{(a^2 + 4)^2}{a^4} = (a^2 + \frac{a^2 + 4}{a^2})(a^2 - \frac{a^2 + 4}{a^2})$

$= (\frac{a^4 + a^2 + 4}{a^2})(\frac{a^4 - a^2 - 4}{a^2})$

問題文に不足している情報がある。$a$ の値が与えられていないと、これ以上簡単化することはできない。しかし、問題の意図として、$a^2$ が何らかの値であるという前提で進める。例えば、

$a^2 = 2$ の場合、

$a^4 = 4$ となる。

このとき、与式は $4 - \frac{16}{4} - \frac{8}{2} - 1 = 4 - 4 - 4 - 1 = -5$ となる。

$a^2 + 4 = 6$ となり $\frac{a^2+4}{a^2} = 3$ となる。

元の式に$a^2 = 2$を代入すると、

$(\frac{16 + 2+4}{2}) (\frac{16-2-4}{2}) = (\frac{22}{2}) (\frac{10}{2}) = 11*5 = 55$

この場合は、計算結果が異なる。

与えられた式を $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = a^4 - \frac{16 + 8a^2 + a^4}{a^4}$ から再開して、

$a^4 - \frac{(a^2 + 4)^2}{a^4} = \frac{a^8 - (a^4 + 8a^2 + 16)}{a^4} = \frac{a^8 - a^4 - 8a^2 - 16}{a^4}$

3. 最終的な答え

問題文にaの値に関する条件がないため、解を特定することはできません。 $a$ の値が与えられていれば、上記の手順で計算を進めることができます。

もし、$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$が0になるようなaの値を求めたい場合、

$\frac{a^8 - a^4 - 8a^2 - 16}{a^4} = 0$

$a^8 - a^4 - 8a^2 - 16 = 0$

となるaの値を求めることになります。

しかしこれも解くのは難しいです。

問題文が不完全である可能性が高いです。