(1) t = sin θ t = \sin\theta t = sin θ とおくと、 cos 2 θ = 1 − sin 2 θ = 1 − t 2 \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - t^2 cos 2 θ = 1 − sin 2 θ = 1 − t 2 となります。 これを与えられた方程式に代入すると、
2 ( 1 − t 2 ) + 2 a t = 5 − a 2(1-t^2) + 2at = 5 - a 2 ( 1 − t 2 ) + 2 a t = 5 − a 2 − 2 t 2 + 2 a t = 5 − a 2 - 2t^2 + 2at = 5 - a 2 − 2 t 2 + 2 a t = 5 − a 0 = 2 t 2 − 2 a t + 3 − a 0 = 2t^2 - 2at + 3 - a 0 = 2 t 2 − 2 a t + 3 − a したがって、空欄1は2、空欄2は0、空欄3は3となります。
(2) − 1 ≤ sin θ ≤ 1 -1 \leq \sin\theta \leq 1 − 1 ≤ sin θ ≤ 1 であるから、 − 1 ≤ t ≤ 1 -1 \leq t \leq 1 − 1 ≤ t ≤ 1 です。したがって、空欄4は-1、空欄5は-1、空欄6は1です。
2 t 2 − 2 a t + 3 − a = 0 2t^2 - 2at + 3 - a = 0 2 t 2 − 2 a t + 3 − a = 0 を t t t について解くと、 2 t 2 − 2 a t + ( 3 − a ) = 0 2t^2 - 2at + (3-a) = 0 2 t 2 − 2 a t + ( 3 − a ) = 0 解の公式より、
t = 2 a ± 4 a 2 − 4 ( 2 ) ( 3 − a ) 4 = 2 a ± 4 a 2 − 24 + 8 a 4 = a ± a 2 + 2 a − 6 2 t = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4(2)(3-a)}}{4} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 24 + 8a}}{4} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 2a - 6}}{2} t = 4 2 a ± 4 a 2 − 4 ( 2 ) ( 3 − a ) = 4 2 a ± 4 a 2 − 24 + 8 a = 2 a ± a 2 + 2 a − 6 この解が − 1 ≤ t ≤ 1 -1 \leq t \leq 1 − 1 ≤ t ≤ 1 を満たす必要があります。 判別式 D = a 2 + 2 a − 6 ≥ 0 D = a^2 + 2a - 6 \geq 0 D = a 2 + 2 a − 6 ≥ 0 より、 a ≤ − 1 − 7 a \leq -1 - \sqrt{7} a ≤ − 1 − 7 , − 1 + 7 ≤ a -1 + \sqrt{7} \leq a − 1 + 7 ≤ a 。 a ≈ − 3.6 , a ≈ 1.6 a \approx -3.6, a \approx 1.6 a ≈ − 3.6 , a ≈ 1.6 また、 − 1 ≤ a ± a 2 + 2 a − 6 2 ≤ 1 -1 \leq \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 2a - 6}}{2} \leq 1 − 1 ≤ 2 a ± a 2 + 2 a − 6 ≤ 1 − 2 ≤ a ± a 2 + 2 a − 6 ≤ 2 -2 \leq a \pm \sqrt{a^2 + 2a - 6} \leq 2 − 2 ≤ a ± a 2 + 2 a − 6 ≤ 2 − 2 − a ≤ ± a 2 + 2 a − 6 ≤ 2 − a -2-a \leq \pm\sqrt{a^2 + 2a - 6} \leq 2-a − 2 − a ≤ ± a 2 + 2 a − 6 ≤ 2 − a 解を持つための必要条件は a 2 + 2 a − 6 ≥ 0 a^2+2a-6\geq0 a 2 + 2 a − 6 ≥ 0 まず f ( t ) = 2 t 2 − 2 a t + 3 − a f(t)=2t^2-2at+3-a f ( t ) = 2 t 2 − 2 a t + 3 − a とおくと、 f ( − 1 ) = 2 + 2 a + 3 − a = a + 5 , f ( 1 ) = 2 − 2 a + 3 − a = 5 − 3 a f(-1)=2+2a+3-a=a+5,f(1)=2-2a+3-a=5-3a f ( − 1 ) = 2 + 2 a + 3 − a = a + 5 , f ( 1 ) = 2 − 2 a + 3 − a = 5 − 3 a 少なくとも1つ解をもつためには、 f ( − 1 ) f ( 1 ) ≤ 0 f(-1)f(1)\leq0 f ( − 1 ) f ( 1 ) ≤ 0 より、 ( a + 5 ) ( 5 − 3 a ) ≤ 0 (a+5)(5-3a)\leq0 ( a + 5 ) ( 5 − 3 a ) ≤ 0 すなわち ( a + 5 ) ( 3 a − 5 ) ≥ 0 (a+5)(3a-5)\geq0 ( a + 5 ) ( 3 a − 5 ) ≥ 0 よって a ≤ − 5 , 5 3 ≤ a a\leq-5,\frac{5}{3}\leq a a ≤ − 5 , 3 5 ≤ a 。 a = − 5 a = -5 a = − 5 のとき t = − 5 ± 25 − 10 − 6 2 = − 5 ± 9 2 = − 5 ± 3 2 = − 1 , − 4 t = \frac{-5 \pm \sqrt{25-10-6}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2} = -1, -4 t = 2 − 5 ± 25 − 10 − 6 = 2 − 5 ± 9 = 2 − 5 ± 3 = − 1 , − 4 。したがって、 − 1 ≤ t ≤ 1 -1 \leq t \leq 1 − 1 ≤ t ≤ 1 を満たす。 a = 5 3 a = \frac{5}{3} a = 3 5 のとき t = 5 / 3 ± 25 / 9 + 10 / 3 − 6 2 = 5 / 3 ± ( 25 + 30 − 54 ) / 9 2 = 5 / 3 ± 1 / 9 2 = 5 / 3 ± 1 / 3 2 = 1 , 2 3 t = \frac{5/3 \pm \sqrt{25/9 + 10/3 - 6}}{2} = \frac{5/3 \pm \sqrt{(25 + 30 - 54)/9}}{2} = \frac{5/3 \pm \sqrt{1/9}}{2} = \frac{5/3 \pm 1/3}{2} = 1, \frac{2}{3} t = 2 5/3 ± 25/9 + 10/3 − 6 = 2 5/3 ± ( 25 + 30 − 54 ) /9 = 2 5/3 ± 1/9 = 2 5/3 ± 1/3 = 1 , 3 2 。したがって、 − 1 ≤ t ≤ 1 -1 \leq t \leq 1 − 1 ≤ t ≤ 1 を満たす。 a ≤ − 5 a\leq-5 a ≤ − 5 のとき、 t = a + a 2 + 2 a − 6 2 ≤ 1 より t=\frac{a+\sqrt{a^2+2a-6}}{2}\leq 1より t = 2 a + a 2 + 2 a − 6 ≤ 1 より − 5 ≤ a のとき、 -5\leq aのとき、 − 5 ≤ a のとき、 f(-1)f(1)\leq0$より、 よって、 a ≤ − 5 , 5 3 ≤ a a \leq -5, \frac{5}{3} \leq a a ≤ − 5 , 3 5 ≤ a 。
− 5 ≤ a , a ≤ 5 3 -5\leq a, a\leq\frac{5}{3} − 5 ≤ a , a ≤ 3 5 より a ≤ − 5 a\leq -5 a ≤ − 5 または a ≥ 5 3 a\geq\frac{5}{3} a ≥ 3 5 。
したがって、空欄7は-5、空欄8は-5、空欄9は5、空欄10は3、空欄11は7です。
