2つの問題があります。 (1) 和が5、積が3となる2つの数を求めます。 (2) 和が4、積が13となる2つの数を求めます。 (3) 2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha + 2$, $\beta + 2$ を解とする2次方程式を1つ求めます。

1. 問題の内容

2つの問題があります。

(1) 和が5、積が3となる2つの数を求めます。

(2) 和が4、積が13となる2つの数を求めます。

(3) 2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha + 2$, $\beta + 2$ を解とする2次方程式を1つ求めます。

2. 解き方の手順

(1)

求める2つの数を $x, y$ とすると、

$x + y = 5$

$xy = 3$

$y = 5 - x$ を $xy = 3$ に代入すると、

$x(5 - x) = 3$

$5x - x^2 = 3$

$x^2 - 5x + 3 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

$x = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ のとき、$y = 5 - x = 5 - \frac{5 + \sqrt{13}}{2} = \frac{10 - 5 - \sqrt{13}}{2} = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$

$x = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$ のとき、$y = 5 - x = 5 - \frac{5 - \sqrt{13}}{2} = \frac{10 - 5 + \sqrt{13}}{2} = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

よって、求める2つの数は $\frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ と $\frac{5 - \sqrt{13}}{2}$

(2)

求める2つの数を $x, y$ とすると、

$x + y = 4$

$xy = 13$

$y = 4 - x$ を $xy = 13$ に代入すると、

$x(4 - x) = 13$

$4x - x^2 = 13$

$x^2 - 4x + 13 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(13)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$

$x = 2 + 3i$ のとき、$y = 4 - x = 4 - (2 + 3i) = 2 - 3i$

$x = 2 - 3i$ のとき、$y = 4 - x = 4 - (2 - 3i) = 2 + 3i$

よって、求める2つの数は $2 + 3i$ と $2 - 3i$

(3)

2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha \beta = -1$

$\alpha + 2$ と $\beta + 2$ を解とする2次方程式は、

$(x - (\alpha + 2))(x - (\beta + 2)) = 0$

$x^2 - (\alpha + 2 + \beta + 2)x + (\alpha + 2)(\beta + 2) = 0$

$x^2 - (\alpha + \beta + 4)x + (\alpha \beta + 2\alpha + 2\beta + 4) = 0$

$x^2 - (2 + 4)x + (-1 + 2(\alpha + \beta) + 4) = 0$

$x^2 - 6x + (-1 + 2(2) + 4) = 0$

$x^2 - 6x + (-1 + 4 + 4) = 0$

$x^2 - 6x + 7 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5 + \sqrt{13}}{2}$, $\frac{5 - \sqrt{13}}{2}$

(2) $2 + 3i$, $2 - 3i$

(3) $x^2 - 6x + 7 = 0$