## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

1. (1) $x^3 + 3x - 1$ を $x + 1$ で割ったときの余りを求めよ。

2. (2) $2x^3 - x^2 - x + 2$ を $x - 2$ で割ったときの余りを求めよ。

3. 多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると $2$ 余り、$x+3$ で割ると $-6$ 余る。$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの余りを求めよ。

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2. 解き方の手順

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1. (1) $x^3 + 3x - 1$ を $x + 1$ で割ったときの余り**

剰余の定理より、$x+1=0$ となる $x=-1$ を $x^3 + 3x - 1$ に代入すると余りが求まります。

$(-1)^3 + 3(-1) - 1 = -1 - 3 - 1 = -5$

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1. (2) $2x^3 - x^2 - x + 2$ を $x - 2$ で割ったときの余り**

剰余の定理より、$x-2=0$ となる $x=2$ を $2x^3 - x^2 - x + 2$ に代入すると余りが求まります。

$2(2)^3 - (2)^2 - (2) + 2 = 2(8) - 4 - 2 + 2 = 16 - 4 = 12$

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2. 多項式 $P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの余り**

$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの余りは、一般に $ax + b$ の形になります。

したがって、$P(x) = (x-1)(x+3)Q(x) + ax + b$ と表せます。

$P(1) = 2$ より、$a(1) + b = 2$ なので、

$a + b = 2$

$P(-3) = -6$ より、$a(-3) + b = -6$ なので、

$-3a + b = -6$

この連立方程式を解きます。

$a + b = 2$

$-3a + b = -6$

上の式から下の式を引くと、

$4a = 8$

$a = 2$

$a + b = 2$ に $a=2$ を代入すると、

$2 + b = 2$

$b = 0$

したがって、余りは $2x + 0 = 2x$ となります。

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3. 最終的な答え

1. (1) $-5$

2. (2) $12$

3. $2x$