問題1：多項式 $P(x) = 2x^3 + 8x^2 + 3x - 10$ が $x+2$ を因数に持つかどうか調べる。 問題2：因数定理を用いて、$x^3 - 3x^2 + 4$ を因数分解する。

1. 問題の内容

問題1：多項式 $P(x) = 2x^3 + 8x^2 + 3x - 10$ が $x+2$ を因数に持つかどうか調べる。

問題2：因数定理を用いて、$x^3 - 3x^2 + 4$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

問題1：

因数定理より、$P(-2)$ を計算し、その値が0になるかどうかを調べます。

$P(-2) = 2(-2)^3 + 8(-2)^2 + 3(-2) - 10$

$P(-2) = 2(-8) + 8(4) + 3(-2) - 10$

$P(-2) = -16 + 32 - 6 - 10$

$P(-2) = 0$

$P(-2) = 0$ なので、$x+2$ は $P(x)$ の因数です。

問題2：

因数定理を利用して、$x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x = 2$ を代入すると、$2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$ となるため、$x-2$ は因数です。

そこで、$x^3 - 3x^2 + 4$ を $x-2$ で割ります。

割り算を実行すると、

$x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)(x^2 - x - 2)$

さらに、$x^2 - x - 2$ を因数分解すると、

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

したがって、$x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)(x-2)(x+1) = (x-2)^2(x+1)$

3. 最終的な答え

問題1： $x+2$ は因数にもつ

問題2： $(x-2)^2(x+1)$