関数 $y = 8(4^x + 4^{-x}) - (16^x + 16^{-x}) + 3$ について、以下の問いに答える。 (1) $4^x + 4^{-x} = t$ とおくとき、$t$ のとり得る値の範囲を求める。 (2) $y$ を $t$ を用いて表す。 (3) $y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 8(4^x + 4^{-x}) - (16^x + 16^{-x}) + 3$ について、以下の問いに答える。

(1) $4^x + 4^{-x} = t$ とおくとき、$t$ のとり得る値の範囲を求める。

(2) $y$ を $t$ を用いて表す。

(3) $y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $4^x > 0$ かつ $4^{-x} > 0$ であるから、相加平均・相乗平均の関係より、

$t = 4^x + 4^{-x} \geq 2\sqrt{4^x \cdot 4^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$

したがって、$t \geq 2$ である。

(2) $16^x + 16^{-x} = (4^x)^2 + (4^{-x})^2 = (4^x + 4^{-x})^2 - 2 \cdot 4^x \cdot 4^{-x} = t^2 - 2$

よって、$y = 8t - (t^2 - 2) + 3 = -t^2 + 8t + 5$

(3) $y = -t^2 + 8t + 5 = -(t^2 - 8t) + 5 = -(t^2 - 8t + 16 - 16) + 5 = -(t-4)^2 + 16 + 5 = -(t-4)^2 + 21$

$t \geq 2$ であるから、$t = 4$ のとき、最大値をとる。

$y$ の最大値は $21$ である。

3. 最終的な答え

(1) $t \geq 2$

(2) $y = -t^2 + 8t + 5$

(3) $y$ の最大値は $21$