2次方程式 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値とその重解を求める。

## 問題の回答

以下に、画像に写っている数学の問題のうち、指定された問題の解き方と答えを示します。

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7. 2次方程式が重解を持つ条件

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (m+1)x + m = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値とその重解を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ であること。

判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$

で与えられる。

この問題の2次方程式では、$a=1$, $b=-(m+1)$, $c=m$ なので、

$D = (-(m+1))^2 - 4(1)(m) = (m+1)^2 - 4m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$

$D = 0$ となるのは、$m-1 = 0$ すなわち $m = 1$ のとき。

$m = 1$ を元の2次方程式に代入すると、

$x^2 - (1+1)x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0$

したがって、重解は $x = 1$ である。

3. 最終的な答え

$m = 1$, 重解 $x = 1$

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8. 2次方程式の解の種類

1. 問題の内容

$m$ は定数とする。次の2次方程式 $x^2 - mx + 4 = 0$ の解の種類を判別せよ。

2. 解き方の手順

2次方程式の解の種類は、判別式 $D$ によって決まる。

$D = b^2 - 4ac$ で、$D > 0$ のとき異なる2つの実数解、$D = 0$ のとき重解、$D < 0$ のとき異なる2つの虚数解を持つ。

この問題の2次方程式では、$a=1$, $b=-m$, $c=4$ なので、

$D = (-m)^2 - 4(1)(4) = m^2 - 16$

(i) $D > 0$ のとき、$m^2 - 16 > 0 \Rightarrow m^2 > 16 \Rightarrow m < -4$ または $m > 4$

このとき、異なる2つの実数解を持つ。

(ii) $D = 0$ のとき、$m^2 - 16 = 0 \Rightarrow m^2 = 16 \Rightarrow m = \pm 4$

このとき、重解を持つ。

(iii) $D < 0$ のとき、$m^2 - 16 < 0 \Rightarrow m^2 < 16 \Rightarrow -4 < m < 4$

このとき、異なる2つの虚数解を持つ。

3. 最終的な答え

$m < -4$ または $m > 4$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$m = \pm 4$ のとき、重解を持つ。

$-4 < m < 4$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

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9. 解と係数の関係

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha - \beta)^2$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$

(4) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2$, $\alpha \beta = 3$ である。

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 2^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$

(2) $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 2^2 - 4(3) = 4 - 12 = -8$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta) = 2(2^2 - 3(3)) = 2(4-9) = 2(-5) = -10$

(4) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{-2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) -8

(3) -10

(4) $-\frac{2}{3}$

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0. 剰余の定理

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが 3, $x+3$ で割った余りが -5 である。$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(1) = 3$, $P(-3) = -5$ である。

$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割った余りは、1次式 $ax+b$ で表せる。

$P(x) = (x-1)(x+3)Q(x) + ax + b$ とおくと、

$P(1) = a(1) + b = a + b = 3$

$P(-3) = a(-3) + b = -3a + b = -5$

この連立方程式を解くと、

$a+b = 3$

$-3a + b = -5$

$a - (-3a) = 3 - (-5) \Rightarrow 4a = 8 \Rightarrow a = 2$

$2 + b = 3 \Rightarrow b = 1$

したがって、余りは $2x + 1$ である。

3. 最終的な答え

$2x+1$

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1. 3次方程式の解

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax + b = 0$ が $2+i$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$2+i$ が解であるとき、係数が実数なので、共役複素数 $2-i$ も解である。

よって、解は $2+i$, $2-i$, $\gamma$ とおける。

解と係数の関係より、

$(2+i) + (2-i) + \gamma = 3 \Rightarrow 4 + \gamma = 3 \Rightarrow \gamma = -1$

$(2+i)(2-i) + (2+i)(-1) + (2-i)(-1) = a \Rightarrow (4 - i^2) -2 - i - 2 + i = a \Rightarrow 5 - 4 = a \Rightarrow a = 1$

$(2+i)(2-i)(-1) = -b \Rightarrow (4 - i^2)(-1) = -b \Rightarrow 5(-1) = -b \Rightarrow -5 = -b \Rightarrow b = 5$

したがって、$a = 1$, $b = 5$, 他の解は $-1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = 5$, 他の解は $-1$

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2. 立体の体積

1. 問題の内容

ある立方体から、底面の縦を 1 cm, 横を 2 cm それぞれ延ばし、高さを 1 cm 縮めた直方体を作ったら、体積が $\frac{3}{2}$ 倍になった。もとの立方体の1辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

もとの立方体の1辺の長さを $x$ cm とする。

直方体の縦は $x+1$ cm, 横は $x+2$ cm, 高さは $x-1$ cm である。

直方体の体積は $(x+1)(x+2)(x-1)$ 立方cm。

立方体の体積は $x^3$ 立方cm。

$(x+1)(x+2)(x-1) = \frac{3}{2}x^3$

$(x+1)(x^2+x-2) = \frac{3}{2}x^3$

$x^3 + x^2 - 2x + x^2 + x - 2 = \frac{3}{2}x^3$

$x^3 + 2x^2 - x - 2 = \frac{3}{2}x^3$

$2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 = 3x^3$

$x^3 - 4x^2 + 2x + 4 = 0$

$(x-2)(x^2 - 2x - 2) = 0$

$x = 2$ または $x^2 - 2x - 2 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

$x > 1$ より、 $x = 2$ または $x = 1 + \sqrt{3}$。$x$ は整数なので、$x=2$

3. 最終的な答え

2 cm