与えられた3次行列式の値を、行（または列）の基本変形を3回用いて計算します。最後の行列は三角行列である必要はありません。 $ \begin{vmatrix} -9 & -9 & -8 \\ 5 & 4 & -7 \\ 1 & -3 & -1 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3次行列式の値を、行（または列）の基本変形を3回用いて計算します。最後の行列は三角行列である必要はありません。

$$

\begin{vmatrix}

-9 & -9 & -8 \\

5 & 4 & -7 \\

1 & -3 & -1

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

ステップ1：第1行を第3行と入れ替えます。行列式の符号が変わります。

$$

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -1 \\

5 & 4 & -7 \\

-9 & -9 & -8

\end{vmatrix}

$$

ステップ2：第2行から第1行の5倍を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -1 \\

5 - 5(1) & 4 - 5(-3) & -7 - 5(-1) \\

-9 & -9 & -8

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -1 \\

0 & 19 & -2 \\

-9 & -9 & -8

\end{vmatrix}

$$

ステップ3：第3行に第1行の9倍を加えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -1 \\

0 & 19 & -2 \\

-9 + 9(1) & -9 + 9(-3) & -8 + 9(-1)

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -1 \\

0 & 19 & -2 \\

0 & -36 & -17

\end{vmatrix}

$$

ステップ4：第3行に第2行の36/19倍を加えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -1 \\

0 & 19 & -2 \\

0 & -36 + \frac{36}{19}(19) & -17 + \frac{36}{19}(-2)

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -1 \\

0 & 19 & -2 \\

0 & 0 & -17 - \frac{72}{19}

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -1 \\

0 & 19 & -2 \\

0 & 0 & -\frac{323 + 72}{19}

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

1 & -3 & -1 \\

0 & 19 & -2 \\

0 & 0 & -\frac{395}{19}

\end{vmatrix}

$$

ステップ5：三角行列の行列式は対角成分の積に等しいので、行列式は次のようになります。

$$

1 \cdot 19 \cdot (-\frac{395}{19}) = -395

$$

ステップ6：ステップ1で符号を反転させたので、最後に符号を反転させます。

$$

-(-395) = 395

$$

3. 最終的な答え

395