関数 $y = x^2 - 8x + 7$ の $0 \le x \le a$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M + m = 7$ となる $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 8x + 7$ の $0 \le x \le a$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M + m = 7$ となる $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 8x + 7 = (x - 4)^2 - 16 + 7 = (x - 4)^2 - 9$

この関数は、軸が $x = 4$、頂点が $(4, -9)$ の下に凸な放物線です。

場合分けを行います。

(i) $0 < a < 4$ のとき

このとき、最小値は $x = a$ のときにとり、$m = a^2 - 8a + 7$ となります。

最大値は $x = 0$ のときにとり、$M = 0^2 - 8(0) + 7 = 7$ となります。

したがって、$M + m = 7 + a^2 - 8a + 7 = a^2 - 8a + 14 = 7$ となり、

$a^2 - 8a + 7 = 0$ となります。

$(a - 1)(a - 7) = 0$ より、$a = 1, 7$。

$0 < a < 4$ より、$a = 1$。

(ii) $a = 4$ のとき

最小値は $x = 4$ のときにとり、$m = (4 - 4)^2 - 9 = -9$ となります。

最大値は $x = 0$ のときにとり、$M = 7$ となります。

$M + m = 7 + (-9) = -2 \ne 7$ なので、$a=4$ は条件を満たしません。

(iii) $a > 4$ のとき

最小値は $x = 4$ のときにとり、$m = -9$ となります。

最大値は $x = 0$ または $x = a$ のときに取ります。

$x=0$ のとき $y=7$ であり、$x=a$ のとき $y = a^2 - 8a + 7$ です。

$x=a$ で最大値を取る条件は、$a^2 - 8a + 7 > 7$ すなわち $a^2 - 8a > 0$, $a(a-8)>0$ です。 $a>8$ のとき成り立ちます。

最大値を $x = a$ でとると、$M = a^2 - 8a + 7$ となり、$M + m = a^2 - 8a + 7 - 9 = a^2 - 8a - 2 = 7$ より $a^2 - 8a - 9 = 0$ となります。

$(a - 9)(a + 1) = 0$ より、$a = 9, -1$。

$a > 4$ より、$a = 9$。これは $a > 8$ も満たします。

$4 < a \le 8$ のとき、最大値は $x = 0$ でとり $M=7$ になります。すると $M+m = 7 + (-9) = -2$ となり、$7$ にならないので、$4 < a \le 8$ は不適です。

したがって、$a=1$ および $a=9$ が条件を満たす解となります。

3. 最終的な答え

$a = 1, 9$