校舎の壁に沿って長方形の資材置き場を作る。フェンスの長さは40mで、校舎の壁にはフェンスは不要。資材置き場の面積を $y$ 平方メートル、校舎の壁と垂直な辺の長さを $x$ メートルとする。 (1) $y$ を $x$ の式で表す。 (2) 資材置き場の面積を最大にする時の $x$ の値を求める。ただし、校舎の壁は40m以上続くとする。

1. 問題の内容

校舎の壁に沿って長方形の資材置き場を作る。フェンスの長さは40mで、校舎の壁にはフェンスは不要。資材置き場の面積を $y$ 平方メートル、校舎の壁と垂直な辺の長さを $x$ メートルとする。

(1) $y$ を $x$ の式で表す。

(2) 資材置き場の面積を最大にする時の $x$ の値を求める。ただし、校舎の壁は40m以上続くとする。

2. 解き方の手順

(1)

長方形の校舎の壁に垂直な辺の長さを $x$ メートルとする。

すると、もう一方の辺の長さは $40 - 2x$ メートルとなる。

資材置き場の面積 $y$ は、

$y = x(40 - 2x)$

$y = 40x - 2x^2$

$y = -2x^2 + 40x$

(2)

$y = -2x^2 + 40x$ を平方完成する。

$y = -2(x^2 - 20x)$

$y = -2(x^2 - 20x + 100 - 100)$

$y = -2((x - 10)^2 - 100)$

$y = -2(x - 10)^2 + 200$

よって、$x = 10$ のとき、$y$ は最大値200をとる。

$x = 10$ のとき、もう一方の辺の長さは $40 - 2(10) = 40 - 20 = 20$ となり、これは40m以下であるから問題ない。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 40x$

(2) 10 m