等比数列 $\{a_n\}$ があり、$a_2 = 4, a_3 = 16$ である。数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = b$ (b は定数), $b_{n+1} = b_n + a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定められる。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公比をそれぞれ求めよ。 (2) $b_2 = \frac{4}{3}$ のとき、$b$ の値を求めよ。また、このとき数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) (2) のとき、$T_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{b_k} - \frac{1}{a_k}\right)$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とする。$T_n$ を $n$ を用いて表せ。また、$T_n > 2.656$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ があり、$a_2 = 4, a_3 = 16$ である。数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = b$ (b は定数), $b_{n+1} = b_n + a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定められる。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公比をそれぞれ求めよ。

(2) $b_2 = \frac{4}{3}$ のとき、$b$ の値を求めよ。また、このとき数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) (2) のとき、$T_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{b_k} - \frac{1}{a_k}\right)$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とする。$T_n$ を $n$ を用いて表せ。また、$T_n > 2.656$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等比数列 $\{a_n\}$ の公比を $r$ とすると、$a_3 = a_2 r$ より $16 = 4r$ なので、$r = 4$ である。

したがって、$a_2 = a_1 r$ より $4 = a_1 \cdot 4$ なので、$a_1 = 1$ である。

(2)

$b_2 = b_1 + a_1$ より $\frac{4}{3} = b + 1$ なので、$b = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$ である。

また、$b_{n+1} = b_n + a_n$ より $b_{n+1} - b_n = a_n$ である。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k$

$= \frac{1}{3} + \sum_{k=1}^{n-1} 1 \cdot 4^{k-1} = \frac{1}{3} + \frac{1(4^{n-1} - 1)}{4-1} = \frac{1}{3} + \frac{4^{n-1} - 1}{3} = \frac{4^{n-1}}{3}$ である。

(3)

$T_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{b_k} - \frac{1}{a_k}\right) = \sum_{k=1}^n \left(\frac{3}{4^{k-1}} - \frac{1}{4^{k-1}}\right) = \sum_{k=1}^n \frac{2}{4^{k-1}} = 2 \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}$

$= 2 \cdot \frac{1 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{4}} = 2 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n}{\frac{3}{4}} = \frac{8}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)$ である。

$T_n > 2.656 = \frac{2656}{1000} = \frac{332}{125}$

$\frac{8}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right) > \frac{332}{125}$

$1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n > \frac{332}{125} \cdot \frac{3}{8} = \frac{83}{125} \cdot \frac{3}{2} = \frac{249}{250}$

$1 - \frac{249}{250} > \left(\frac{1}{4}\right)^n$

$\frac{1}{250} > \left(\frac{1}{4}\right)^n$

$4^n > 250$

$4^4 = 256 > 250$ なので、$n > 3.9$.

したがって、最小の自然数 $n$ は 4 である。

3. 最終的な答え

(1) 初項: 1, 公比: 4

(2) $b = \frac{1}{3}$, $b_n = \frac{4^{n-1}}{3}$

(3) $T_n = \frac{8}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)$, $n = 4$