数列$\{a_n\}$は等比数列であり、$a_2 = 4$, $a_3 = 16$である。数列$\{b_n\}$は$b_1 = b$ (定数), $b_{n+1} = b_n + a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$)で定められる。 (1) 数列$\{a_n\}$の初項と公比をそれぞれ求めよ。 (2) $b_2 = \frac{4}{3}$のとき、$b$の値を求めよ。また、このとき数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ。 (3) (2)のとき、$T_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{b_k} - \frac{1}{a_k})$ ($n=1, 2, 3, \dots$)とする。$T_n$を$n$を用いて表せ。また、$T_n > 2.656$を満たす最小の自然数$n$を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$は等比数列であり、$a_2 = 4$, $a_3 = 16$である。数列$\{b_n\}$は$b_1 = b$ (定数), $b_{n+1} = b_n + a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$)で定められる。

(1) 数列$\{a_n\}$の初項と公比をそれぞれ求めよ。

(2) $b_2 = \frac{4}{3}$のとき、$b$の値を求めよ。また、このとき数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ。

(3) (2)のとき、$T_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{b_k} - \frac{1}{a_k})$ ($n=1, 2, 3, \dots$)とする。$T_n$を$n$を用いて表せ。また、$T_n > 2.656$を満たす最小の自然数$n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等比数列$\{a_n\}$の公比を$r$とすると、$a_3 = a_2 \cdot r$より、$16 = 4r$だから、$r = 4$。

$a_2 = a_1 \cdot r$より、$4 = a_1 \cdot 4$だから、$a_1 = 1$。

(2)

$b_{n+1} = b_n + a_n$より、$b_2 = b_1 + a_1 = b + a_1$。

$b_2 = \frac{4}{3}$、$a_1 = 1$だから、$\frac{4}{3} = b + 1$。よって、$b = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$。

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 1 \cdot 4^{n-1} = 4^{n-1}$。

$b_{n+1} = b_n + a_n$より、$b_{n+1} - b_n = 4^{n-1}$。

$b_1 = \frac{1}{3}$より、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = \frac{1}{3} + \sum_{k=1}^{n-1} 4^{k-1} = \frac{1}{3} + \sum_{k=0}^{n-2} 4^k = \frac{1}{3} + \frac{4^{n-1} - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} + \frac{4^{n-1} - 1}{3} = \frac{4^{n-1}}{3}$。

したがって、$b_n = \frac{4^{n-1}}{3}$。

(3)

$T_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{b_k} - \frac{1}{a_k}) = \sum_{k=1}^{n} (\frac{3}{4^{k-1}} - \frac{1}{4^{k-1}}) = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{4^{k-1}} = 2\sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{4})^k = 2 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{4})^n}{1 - \frac{1}{4}} = 2 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{4})^n}{\frac{3}{4}} = \frac{8}{3}(1 - (\frac{1}{4})^n)$。

$T_n = \frac{8}{3}(1 - \frac{1}{4^n})$。

$T_n > 2.656$を満たす最小の自然数$n$を求める。

$\frac{8}{3}(1 - \frac{1}{4^n}) > 2.656$

$1 - \frac{1}{4^n} > 2.656 \cdot \frac{3}{8} = 0.996$

$1 - 0.996 > \frac{1}{4^n}$

$0.004 > \frac{1}{4^n}$

$4^n > \frac{1}{0.004} = 250$

$4^n > 250$

$4^1 = 4$, $4^2 = 16$, $4^3 = 64$, $4^4 = 256$

よって、$n=4$。

3. 最終的な答え

(1) 初項: $1$, 公比: $4$

(2) $b = \frac{1}{3}$, $b_n = \frac{4^{n-1}}{3}$

(3) $T_n = \frac{8}{3}(1 - \frac{1}{4^n})$, $n = 4$