数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_2 = 10$、$a_5 = 22$ である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ を、1個、2個、3個、…、$m$ 個、…のように群に分ける。 $a_1 | a_2, a_3 | a_4, a_5, a_6 | a_7, a_8, \dots$ 第1群 第2群 第3群 このとき、第 $m$ 群の最後の項は数列 $\{a_n\}$ の第何項か、$m$ を用いて表せ。また、第 $m$ 群の最後の項を $m$ を用いて表せ。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n$ を $n$ を用いて表し、$S_n > 2000$ を満たす最小の $n$ の値を求めよ。また、その $n$ の値を $k$ とするとき、(2)で定めた群において $a_k$ は第何群の何番目の項であるかを求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_2 = 10$、$a_5 = 22$ である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ を、1個、2個、3個、…、$m$ 個、…のように群に分ける。

$a_1 | a_2, a_3 | a_4, a_5, a_6 | a_7, a_8, \dots$

第1群 第2群 第3群

このとき、第 $m$ 群の最後の項は数列 $\{a_n\}$ の第何項か、$m$ を用いて表せ。また、第 $m$ 群の最後の項を $m$ を用いて表せ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n$ を $n$ を用いて表し、$S_n > 2000$ を満たす最小の $n$ の値を求めよ。また、その $n$ の値を $k$ とするとき、(2)で定めた群において $a_k$ は第何群の何番目の項であるかを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を求める。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。

$a_2 = a_1 + d = 10$

$a_5 = a_1 + 4d = 22$

この連立方程式を解く。

$3d = 12$ より $d = 4$

$a_1 = 10 - 4 = 6$

したがって、$a_n = 6 + (n-1)4 = 4n + 2$

(2) 第 $m$ 群の最後の項が数列 $\{a_n\}$ の第何項かを求める。

第 $m$ 群までの項数は、1 + 2 + 3 + ... + $m = \frac{m(m+1)}{2}$ である。

したがって、第 $m$ 群の最後の項は数列 $\{a_n\}$ の第 $\frac{m(m+1)}{2}$ 項である。

第 $m$ 群の最後の項は、数列 $\{a_n\}$ の第 $\frac{m(m+1)}{2}$ 項なので、

$a_{\frac{m(m+1)}{2}} = 4(\frac{m(m+1)}{2}) + 2 = 2m(m+1) + 2 = 2m^2 + 2m + 2$

(3) $S_n$ を求め、$S_n > 2000$ を満たす最小の $n$ を求める。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(6 + 4n + 2) = \frac{n}{2}(4n + 8) = n(2n + 4) = 2n^2 + 4n$

$S_n > 2000$ より

$2n^2 + 4n > 2000$

$n^2 + 2n > 1000$

$n^2 + 2n - 1000 > 0$

$n = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4000}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4004}}{2} = -1 \pm \sqrt{1001}$

$n > -1 + \sqrt{1001} \approx -1 + 31.638 \approx 30.638$

したがって、$n \ge 31$

$k = 31$ のとき、$S_{31} = 2(31^2) + 4(31) = 2(961) + 124 = 1922 + 124 = 2046 > 2000$

$n = 30$ のとき、$S_{30} = 2(30^2) + 4(30) = 2(900) + 120 = 1800 + 120 = 1920 < 2000$

よって、$k=31$

$a_{31}$ は第何群の何番目の項か。

第 $m$ 群までの項数は $\frac{m(m+1)}{2}$

$\frac{m(m+1)}{2} < 31 \le \frac{(m+1)(m+2)}{2}$ を満たす $m$ を求める。

$m(m+1) < 62 \le (m+1)(m+2)$

$m=7$ のとき、$7(8) = 56 < 62$

$m=8$ のとき、$8(9) = 72 > 62$

よって、$m=7$ である。

$\frac{7(8)}{2} = 28$

$a_{31}$ は第 8 群の $31 - 28 = 3$ 番目の項である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4n + 2$

(2) 第 $m$ 群の最後の項は数列 $\{a_n\}$ の第 $\frac{m(m+1)}{2}$ 項。

第 $m$ 群の最後の項は $2m^2 + 2m + 2$

(3) $S_n = 2n^2 + 4n$, $n = 31$, $a_{31}$ は第 8 群の 3 番目の項。