与えられた問題は2つの部分から構成されています。 (1) $1001^2 - 999^2$ の計算結果と、$1001^2 + 1001 \times 999 + 999^2$ の計算結果を求める問題です。 (2) 整数全体の集合$U$の部分集合$A = \{1, a, 1-a\}$、$B = \{2, a+3, 2a+7\}$が与えられています。$A \cap B = \{1, 3\}$となるような$a$の値を求め、そのときの$A \cup B$を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は2つの部分から構成されています。

(1) $1001^2 - 999^2$ の計算結果と、$1001^2 + 1001 \times 999 + 999^2$ の計算結果を求める問題です。

(2) 整数全体の集合$U$の部分集合$A = \{1, a, 1-a\}$、$B = \{2, a+3, 2a+7\}$が与えられています。$A \cap B = \{1, 3\}$となるような$a$の値を求め、そのときの$A \cup B$を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $1001^2 - 999^2$ は、因数分解の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用して計算します。

$1001^2 - 999^2 = (1001+999)(1001-999) = 2000 \times 2 = 4000$

$1001^2 + 1001 \times 999 + 999^2$ は、$x = 1001$, $y = 999$ とすると、$x^2 + xy + y^2$ となります。

$x^2 + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - xy = (x+y)^2 - xy = (1001+999)^2 - 1001 \times 999 = (2000)^2 - (1000+1)(1000-1) = 4000000 - (1000^2 - 1) = 4000000 - 1000000 + 1 = 3000001$

(2) $A \cap B = \{1, 3\}$ であることから、3は$A$と$B$両方の要素であることがわかります。$A$は$\{1, a, 1-a\}$なので、$a=3$または$1-a=3$です。

$a=3$の場合、$A = \{1, 3, -2\}$、$B = \{2, 6, 13\}$となり、$A \cap B = \{ \} \neq \{1, 3\}$なので、$a=3$は不適です。

$1-a = 3$の場合、$a = -2$です。このとき、$A = \{1, -2, 3\}$、$B = \{2, 1, 3\}$となり、$A \cap B = \{1, 3\}$を満たします。したがって、$a = -2$ です。

このとき、$A = \{1, -2, 3\}$、$B = \{1, 2, 3\}$なので、$A \cup B = \{-2, 1, 2, 3\}$となります。

3. 最終的な答え

1 : ウ. 4000

2 : エ. 3000001

3 : イ. -2

4 : ウ. {-2, 1, 2, 3}