実数 $x, y$ が関係式 $x^2 - 2xy + 3y^2 = 3$ を満たして変化するとき、$x+y$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が関係式 $x^2 - 2xy + 3y^2 = 3$ を満たして変化するとき、$x+y$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x+y = k$ とおく。すると、$x = k-y$ となる。これを $x^2 - 2xy + 3y^2 = 3$ に代入する。

$(k-y)^2 - 2(k-y)y + 3y^2 = 3$

$k^2 - 2ky + y^2 - 2ky + 2y^2 + 3y^2 = 3$

$6y^2 - 4ky + k^2 - 3 = 0$

この $y$ に関する2次方程式が実数解を持つ条件を考える。判別式を $D$ とすると、

$D = (-4k)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (k^2 - 3) \ge 0$

$16k^2 - 24k^2 + 72 \ge 0$

$-8k^2 + 72 \ge 0$

$8k^2 \le 72$

$k^2 \le 9$

$-3 \le k \le 3$

したがって、$x+y$ の最大値は3である。

3. 最終的な答え

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