$xy = 4$ (ただし、$x > 0, y > 0$) を満たすとき、$I = (\log_2 x)^3 + (\log_2 y)^3$ の最小値を求め、その時の $x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$xy = 4$ (ただし、$x > 0, y > 0$) を満たすとき、$I = (\log_2 x)^3 + (\log_2 y)^3$ の最小値を求め、その時の $x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$xy = 4$ の両辺の底を2とする対数をとると、

$\log_2 (xy) = \log_2 4$

$\log_2 x + \log_2 y = 2$

ここで、$\log_2 x = a$ とおくと、$\log_2 y = 2 - a$ となる。

したがって、$I$ は以下のように書き換えられる。

$I = a^3 + (2 - a)^3$

$I = a^3 + (8 - 12a + 6a^2 - a^3)$

$I = 6a^2 - 12a + 8$

$I = 6(a^2 - 2a) + 8$

$I = 6(a^2 - 2a + 1 - 1) + 8$

$I = 6(a - 1)^2 - 6 + 8$

$I = 6(a - 1)^2 + 2$

$I$ が最小となるのは、$(a - 1)^2 = 0$ のとき、つまり、$a = 1$ のときである。

このとき、$I$ の最小値は $2$ となる。

$a = 1$ のとき、$\log_2 x = 1$ なので、$x = 2^1 = 2$

また、$\log_2 y = 2 - a = 2 - 1 = 1$ なので、$y = 2^1 = 2$

3. 最終的な答え

$I$ の最小値は $2$ で、そのとき $x = 2$, $y = 2$ である。