問題は、以下の2つです。 (1) $2(x+yi)-3(y-xi) = 9+7i$ を満たす実数 $x, y$ を求めよ。 (2) 次の複素数の計算をして、結果を $a+bi$ (a, b は実数) の形で表せ。 (i) $(2-8i)-(3-8i)$ (ii) $(3+4i)(4-3i)$ (iii) $\frac{5}{3+4i}$ (iv) $(\sqrt{-27}+\sqrt{3})\sqrt{-3}$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つです。

(1) $2(x+yi)-3(y-xi) = 9+7i$ を満たす実数 $x, y$ を求めよ。

(2) 次の複素数の計算をして、結果を $a+bi$ (a, b は実数) の形で表せ。

(i) $(2-8i)-(3-8i)$

(ii) $(3+4i)(4-3i)$

(iii) $\frac{5}{3+4i}$

(iv) $(\sqrt{-27}+\sqrt{3})\sqrt{-3}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた方程式を展開し、実部と虚部に分けます。

$2(x+yi)-3(y-xi) = 2x + 2yi - 3y + 3xi = (2x-3y) + (2y+3x)i = 9+7i$

実部と虚部を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$2x-3y=9$

$3x+2y=7$

この連立方程式を解きます。一つ目の式を3倍、二つ目の式を2倍して、

$6x-9y=27$

$6x+4y=14$

上の式から下の式を引くと、$-13y=13$となり、$y=-1$を得ます。

$y=-1$ を $2x-3y=9$ に代入すると、$2x-3(-1)=9$ 、$2x+3=9$ 、$2x=6$ 、$x=3$

(2)

(i) $(2-8i)-(3-8i) = 2-8i-3+8i = 2-3-8i+8i = -1$

(ii) $(3+4i)(4-3i) = 3(4) + 3(-3i) + 4i(4) + 4i(-3i) = 12 - 9i + 16i -12i^2 = 12 + 7i -12(-1) = 12+7i+12 = 24+7i$

(iii) $\frac{5}{3+4i} = \frac{5}{3+4i} \cdot \frac{3-4i}{3-4i} = \frac{5(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{15-20i}{3^2 + 4^2} = \frac{15-20i}{9+16} = \frac{15-20i}{25} = \frac{15}{25} - \frac{20}{25}i = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(iv) $(\sqrt{-27}+\sqrt{3})\sqrt{-3} = (3\sqrt{-3}+\sqrt{3})\sqrt{-3} = (3\sqrt{3}i + \sqrt{3})(\sqrt{3}i) = 3\sqrt{3}i \cdot \sqrt{3}i + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}i = 3(3)i^2 + 3i = 9(-1)+3i = -9+3i$

3. 最終的な答え

(1) $x=3$, $y=-1$

(2)

(i) $-1$

(ii) $24+7i$

(iii) $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(iv) $-9+3i$