$xy$平面における曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と $x$軸で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。$V = \frac{[44]}{[45]}\pi^{[46]}$ の形式で答える必要があります。

1. 問題の内容

$xy$平面における曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と $x$軸で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ を求める問題です。$V = \frac{[44]}{[45]}\pi^{[46]}$ の形式で答える必要があります。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を用いて求めることができます。$y = f(x)$ を $x$軸の周りに回転させたときの体積は、

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$$

で与えられます。

この問題では、$f(x) = \sin x$、$a = 0$、$b = \pi$ なので、

$$V = \pi \int_0^\pi (\sin x)^2 dx$$

となります。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ であることを利用すると、

$$V = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} dx$$

$$V = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (1 - \cos 2x) dx$$

$$V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^\pi$$

$$V = \frac{\pi}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) \right]$$

$$V = \frac{\pi}{2} (\pi - 0 - 0 + 0)$$

$$V = \frac{\pi^2}{2}$$

よって、 $V = \frac{1}{2}\pi^2$ となります。

3. 最終的な答え

[44] = 1

[45] = 2

[46] = 2

したがって、 $V = \frac{1}{2}\pi^2$