この問題は、2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ に関する問題です。 (1) 数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_0 = 0$, $a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n + 3$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (2) 数直線上の点 $A_n$ の座標 $a_n$ が、 $a_1 = \frac{2}{3}$ であり、線分 $OA_n$ を $1:2$ に内分する点が $A_{n+1}$ であるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。また、数列 $\{b_n\}$ が点 $B_n$ の座標として定義される漸化式とその一般項、和を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、2つの数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ に関する問題です。

(1) 数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_0 = 0$, $a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n + 3$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(2) 数直線上の点 $A_n$ の座標 $a_n$ が、 $a_1 = \frac{2}{3}$ であり、線分 $OA_n$ を $1:2$ に内分する点が $A_{n+1}$ であるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。また、数列 $\{b_n\}$ が点 $B_n$ の座標として定義される漸化式とその一般項、和を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n + 3$ を解きます。

まず、$a_0 = 0$ より、$a_1 = \frac{3}{2} a_0 + 3 = \frac{3}{2} \cdot 0 + 3 = 3$。

次に、漸化式を変形します。$a_{n+1} + \alpha = \frac{3}{2} (a_n + \alpha)$ となる $\alpha$ を見つけます。

$a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n + \frac{3}{2} \alpha - \alpha$ より、$\frac{3}{2} \alpha - \alpha = 3$ となるので、$\frac{1}{2} \alpha = 3$, $\alpha = 6$。

よって、$a_{n+1} + 6 = \frac{3}{2} (a_n + 6)$。

数列 $\{a_n + 6\}$ は、初項 $a_0 + 6 = 0 + 6 = 6$, 公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列。

よって、$a_n + 6 = 6 (\frac{3}{2})^n$, $a_n = 6 (\frac{3}{2})^n - 6$。

(2)

$a_1 = \frac{2}{3}$ であり、線分 $OA_n$ を $1:2$ に内分する点が $A_{n+1}$ なので、 $a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n$。

よって、$a_2 = \frac{1}{3} a_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$。

$a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n$ より、数列 $\{a_n\}$ は、初項 $a_1 = \frac{2}{3}$, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列。

よって、$a_n = \frac{2}{3} (\frac{1}{3})^{n-1} = 2 (\frac{1}{3})^n = \frac{2}{3^n}$。

次に、点 $B_n$ は線分 $A B_{n-1}$ の中点なので、$b_n = \frac{a_n + b_{n-1}}{2}$。

よって、$2 b_n = a_n + b_{n-1}$。

$2 b_n = \frac{2}{3^n} + b_{n-1}$, $b_n = \frac{1}{3^n} + \frac{1}{2} b_{n-1}$。

$c_n = \frac{b_n}{3^n}$ とおくと、$b_n = 3^n c_n$。

$3^n c_n = \frac{1}{3^n} + \frac{1}{2} 3^{n-1} c_{n-1}$。

$c_n = \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{6} c_{n-1}$。

$c_{n+1} = \frac{1}{3^{2(n+1)}} + \frac{1}{2} c_n$ が成り立つ。

$b_n = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^n})$

$\sum_{k=1}^{n} b_k = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (1 - (\frac{1}{3})^n)/ (\frac{2}{3})$

3. 最終的な答え

(1)

ア: 3

イ: 6

ウ: 6

エ: 2/9

オ: 1/3

カ: 1

キ: 3

ク: 2

ケ: 3

コ：2

シ: 1

ス: 2

セ：1

ソ：2

タ：0

チ：1

ツ：2

テ：3

ト：1

ニ：2

ヌ：n

ネ：2

ノ：n

ハ：2

ヒ：0

フ：0