数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \dots$ について、 (1) $\frac{35}{89}$ は第何項であるか。 (2) 第700項は何か（既約分数で答える）。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \dots$ について、

(1) $\frac{35}{89}$ は第何項であるか。

(2) 第700項は何か（既約分数で答える）。

2. 解き方の手順

(1) まず、分母が $n$ である項の数が $n-1$ 個であることに注目します。分母が2から89までの項の総数は

$$\sum_{n=2}^{89} (n-1) = \sum_{n=1}^{88} n = \frac{88 \times 89}{2} = 44 \times 89 = 3916$$

よって、分母が89までの項の総数は3916項です。$\frac{35}{89}$ は分母が89の項の中で35番目なので、数列の第 $3916 + 35 = 3951$ 項です。

(2) 第700項を求めるために、まず分母が $n$ までの項の総数を計算します。

分母が $n$ までの項の総数は

$$\sum_{k=2}^n (k-1) = \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$$

これが700に近い$n$を求めます。

$$\frac{(n-1)n}{2} \approx 700$$

$$n^2 - n \approx 1400$$

$$n \approx \sqrt{1400} \approx 37$$

$n=37$ とすると、項数は $\frac{36 \times 37}{2} = 18 \times 37 = 666$ となります。

$n=38$ とすると、項数は $\frac{37 \times 38}{2} = 37 \times 19 = 703$ となります。

したがって、第700項は分母が38の項であることがわかります。第703項が$\frac{1}{38}$なので、第700項は分母が38の項のうち、37番目の項となります。すなわち、$\frac{37}{38}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 3951

(2) $\frac{37}{38}$