奇数の列を、第$n$群が$2^{n-1}$個の奇数を含むように群に分ける。 (1) 第$n$群の最初の奇数を求めよ。 (2) 第$n$群に含まれる奇数の和を求めよ。 (3) 157は第何群の何番目の数か。

1. 問題の内容

奇数の列を、第$n$群が$2^{n-1}$個の奇数を含むように群に分ける。

(1) 第$n$群の最初の奇数を求めよ。

(2) 第$n$群に含まれる奇数の和を求めよ。

(3) 157は第何群の何番目の数か。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の奇数を求める。

まず、$n-1$群までの奇数の個数の合計を求める。

$n-1$群までの奇数の個数の合計は、初項1、公比2の等比数列の和なので、

$1 + 2 + 4 + ... + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、$n-1$群までの奇数の個数の合計は$2^{n-1} - 1$個である。

第$n$群の最初の奇数は、奇数列の($2^{n-1}$)番目の数となる。

奇数列の$k$番目の数は、$2k-1$で表されるので、第$n$群の最初の奇数は$2(2^{n-1}) - 1 = 2^n - 1$である。

(2) 第$n$群に含まれる奇数の和を求める。

第$n$群は$2^{n-1}$個の奇数からなり、その最初の奇数は$2^n - 1$である。

奇数列は公差が2の等差数列なので、第$n$群に含まれる奇数も公差が2の等差数列をなす。

したがって、第$n$群の最後の奇数は、

$(2^n - 1) + 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 1 + 2^n - 2 = 2^{n+1} - 3$

よって、第$n$群の和は、

$\frac{2^{n-1}}{2} [(2^n - 1) + (2^{n+1} - 3)] = 2^{n-2} [3 \cdot 2^n - 4] = 3 \cdot 2^{2n-2} - 2^n$

したがって、第$n$群に含まれる奇数の和は、$3 \cdot 2^{2n-2} - 2^n$である。

(3) 157は第何群の何番目の数かを求める。

まず、157が奇数列の何番目の数かを求める。

$2k - 1 = 157$より、$2k = 158$、$k = 79$。

したがって、157は奇数列の79番目の数である。

次に、$2^{n-1} - 1 < 79 \le 2^n - 1$を満たす$n$を求める。

$n=6$のとき、$2^5 - 1 = 31 < 79 \le 2^6 - 1 = 63$となり、不適。

$n=7$のとき、$2^6 - 1 = 63 < 79 \le 2^7 - 1 = 127$となり、適する。

したがって、157は第7群に含まれる。

第7群には$2^{7-1} = 2^6 = 64$個の奇数が含まれる。

157は奇数列の79番目の数であり、第6群までに63個の奇数が含まれているので、157は第7群の$79 - 63 = 16$番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の奇数：$2^n - 1$

(2) 第$n$群に含まれる奇数の和：$3 \cdot 2^{2n-2} - 2^n$

(3) 157は第7群の16番目の数