奇数の列を、第1群に1個、第2群に2個、第3群に4個、第4群に8個、...というように群に分けていく。このとき、 (1) 第n群の最初の奇数を求めよ。 (2) 第n群に含まれる奇数の和を求めよ。

1. 問題の内容

奇数の列を、第1群に1個、第2群に2個、第3群に4個、第4群に8個、...というように群に分けていく。このとき、

(1) 第n群の最初の奇数を求めよ。

(2) 第n群に含まれる奇数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の奇数を求める。

まず、第n群の直前までの群に含まれる奇数の個数の合計を求める。これは、初項1、公比2の等比数列の第(n-1)項までの和であるから、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

となる。

したがって、第n群の最初の奇数は、奇数列の中で$(2^{n-1}-1)+1 = 2^{n-1}$番目の奇数である。

奇数列のk番目の奇数は$2k-1$で表されるから、第n群の最初の奇数は

$2(2^{n-1}) - 1 = 2^n - 1$ となる。

(2) 第n群に含まれる奇数の和を求める。

第n群に含まれる奇数は$2^{n-1}$個である。

第n群の最初の奇数は$2^n-1$であり、奇数列なので公差は2である。

したがって、第n群に含まれる奇数の和は、初項$2^n-1$、公差2、項数$2^{n-1}$の等差数列の和として求められる。

等差数列の和の公式は$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$であるから、

$S_n = \frac{2^{n-1}}{2} (2(2^n-1) + (2^{n-1}-1)2)$

$= 2^{n-2} (2^{n+1} - 2 + 2^n - 2)$

$= 2^{n-2} (3 \cdot 2^n - 4)$

$= 3 \cdot 2^{2n-2} - 2^n$

$= 3 \cdot 4^{n-1} - 2^n$

3. 最終的な答え

(1) 第n群の最初の奇数は $2^n - 1$

(2) 第n群に含まれる奇数の和は $3 \cdot 4^{n-1} - 2^n$