問題は二つあります。 一つ目は平行四辺形ABCDにおいて、内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ を求める問題です。 二つ目はベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める問題です。 三つ目は、$|\vec{a}|=3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ のとき $\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は二つあります。

一つ目は平行四辺形ABCDにおいて、内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ を求める問題です。

二つ目はベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める問題です。

三つ目は、$|\vec{a}|=3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ のとき $\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 平行四辺形の内積の計算

まず、それぞれのベクトルの成分を求めます。

$\overrightarrow{AB} = (2, 0)$

$\overrightarrow{AD} = (\sqrt{3} \cos(90^\circ), \sqrt{3} \sin(90^\circ)) = (0, \sqrt{3})$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (2, \sqrt{3})$

$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = (-2, -\sqrt{3})$

$\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AD} = (0, -\sqrt{3})$

$\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB} = (-2, 0)$

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = (0, \sqrt{3})$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2, 0) \cdot (2, \sqrt{3}) = 2 \cdot 2 + 0 \cdot \sqrt{3} = 4$

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-2, -\sqrt{3}) \cdot (0, -\sqrt{3}) = -2 \cdot 0 + (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = 0 + 3 = 3$

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (0, \sqrt{3}) \cdot (-2, 0) = 0 \cdot (-2) + \sqrt{3} \cdot 0 = 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (2, 0) \cdot (0, \sqrt{3}) = 2 \cdot 0 + 0 \cdot \sqrt{3} = 0$

2. ベクトルの内積の計算

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$ で計算します。

(ア) $\vec{a} = (2, 3)$, $\vec{b} = (-1, 4)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = -2 + 12 = 10$

(イ) $\vec{a} = (-2, 3)$, $\vec{b} = (5, 4)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = -10 + 12 = 2$

(ウ) $\vec{a} = (7, 3)$, $\vec{b} = (-3, 7)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot (-3) + 3 \cdot 7 = -21 + 21 = 0$

(エ) $\vec{a} = (3, \sqrt{3})$, $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-\sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 = -3\sqrt{3} + \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$

(オ) $\vec{a} = (3, 5)$, $\vec{b} = (-4, 1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-4) + 5 \cdot 1 = -12 + 5 = -7$

3. $\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$ の計算

$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b})$

$|\vec{a}| = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ なので、

$\vec{a} \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = 3^2 - 3(-2) = 9 + 6 = 15$

3. 最終的な答え

(1): 4

(2): 3

(3): 0

(4): 0

(5): 10

(6): 2

(7): 0

(8): -2

(9): 3

(10): -7

(11): 15