三角形ABCにおいて、内心をIとする。直線BIと辺ACの交点をD、直線AIと辺BCの交点をEとする。AB=5、BC=3、ID/BI=3/4のとき、BE/ECとACの値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、内心をIとする。直線BIと辺ACの交点をD、直線AIと辺BCの交点をEとする。AB=5、BC=3、ID/BI=3/4のとき、BE/ECとACの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ID/BI = 3/4 より、BI:ID = 4:3となる。よってBDは角Bの二等分線であるから、角の二等分線の定理より

$AB:BC = AD:DC$

$5:3 = AD:DC$

$AD = 5x$, $DC = 3x$ とおく。

よって$AC = AD + DC = 5x + 3x = 8x$

(2) 次に、チェバの定理を適用する。

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{CD}{DA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$ (FはCIとABの交点)

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{3x}{5x} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

$\frac{BE}{EC} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

(3) BIは角Bの二等分線であるから、角の二等分線の定理より、

$AI:IE = (AB+BC):BC = (5+3):3 = 8:3$

AIは角Aの二等分線であるから、角の二等分線の定理より、

$BE:EC = AB:AC = 5:AC$

(4) メネラウスの定理を三角形ADCと直線BIに適用する。

$\frac{AI}{IE} \cdot \frac{EB}{BC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$

$\frac{8}{3} \cdot \frac{EB}{3} \cdot \frac{3x}{5x} = 1$

$\frac{8}{3} \cdot \frac{EB}{3} \cdot \frac{3}{5} = 1$

$\frac{EB}{3} = \frac{5}{8}$

$EB = \frac{15}{8}$

$EC = BC - BE = 3 - \frac{15}{8} = \frac{24-15}{8} = \frac{9}{8}$

$\frac{BE}{EC} = \frac{15/8}{9/8} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

(5) $BE:EC = 5:3$ より、$5:3 = 5:AC$ なので、$AC=3$

3. 最終的な答え

$BE/EC = 5/3$

$AC = 3$