三角形ABCにおいて、$\angle ABC = 40^\circ$, $\angle ACB = 30^\circ$であり、三角形BDCは正三角形である。点Pを三角形ABCの内部にとり、点Qを三角形BDCの内部に、三角形CPQが正三角形となるようにとる。 (2) 点Pを$\angle ABP = \angle PBC$, $\angle ACP = \angle PCB$となるようにとるとき、$\angle BPQ$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle ABC = 40^\circ$, $\angle ACB = 30^\circ$であり、三角形BDCは正三角形である。点Pを三角形ABCの内部にとり、点Qを三角形BDCの内部に、三角形CPQが正三角形となるようにとる。

(2) 点Pを$\angle ABP = \angle PBC$, $\angle ACP = \angle PCB$となるようにとるとき、$\angle BPQ$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、$\angle BAC = 180^\circ - 40^\circ - 30^\circ = 110^\circ$である。

点Pは$\angle ABP = \angle PBC$, $\angle ACP = \angle PCB$となるようにとるので、BPは$\angle ABC$の、CPは$\angle ACB$の二等分線である。

したがって、$\angle ABP = \angle PBC = 40^\circ / 2 = 20^\circ$, $\angle ACP = \angle PCB = 30^\circ / 2 = 15^\circ$である。

次に、$\angle BPC = 180^\circ - \angle PBC - \angle PCB = 180^\circ - 20^\circ - 15^\circ = 145^\circ$である。

$\triangle CPQ$は正三角形であるから、$CP=PQ$, $\angle CPQ = 60^\circ$である。

したがって、$\angle BPQ = \angle BPC - \angle CPQ = 145^\circ - 60^\circ = 85^\circ$となる。

3. 最終的な答え

$\angle BPQ = 85^\circ$