$\angle ABC = 54^{\circ}$ である $\triangle ABC$ において、辺 $AB$ 上に点 $D$ をとる。線分 $CD$ を折り目として $\triangle ABC$ を折り返し、頂点 $A$ が移った点を $P$ とする。$PD // BC$ のとき、$\angle PDC$ の大きさを求める。

1. 問題の内容

$\angle ABC = 54^{\circ}$ である $\triangle ABC$ において、辺 $AB$ 上に点 $D$ をとる。線分 $CD$ を折り目として $\triangle ABC$ を折り返し、頂点 $A$ が移った点を $P$ とする。$PD // BC$ のとき、$\angle PDC$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、折り返しの性質より、$\angle ADC = \angle PDC$ である。

また、$PD // BC$ であるから、$\angle PDC = \angle DCB$ (錯角)。

したがって、$\angle ADC = \angle DCB$ となる。

次に、$\triangle DBC$ において、$\angle DBC = \angle ABC = 54^{\circ}$ である。

$\triangle DBC$ の内角の和は $180^{\circ}$ であるから、

$\angle DBC + \angle DCB + \angle BDC = 180^{\circ}$

$\angle BDC$ と $\angle ADC$ は一直線をなすので、$\angle BDC + \angle ADC = 180^{\circ}$。

$\angle ADC = \angle DCB$ であるから、$\angle BDC + \angle DCB = 180^{\circ}$。

したがって、$\angle BDC = 180^{\circ} - \angle DCB$。

$\angle DBC + \angle DCB + \angle BDC = 180^{\circ}$ に代入すると、

$54^{\circ} + \angle DCB + (180^{\circ} - \angle DCB) = 180^{\circ}$ は成立しない。

平行線の錯角より、$\angle PDC = \angle DCB$。また、折り返しの性質より、$\angle PDC = \angle ADC$。

したがって、$\angle ADC = \angle DCB$ となる。

$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - \angle DCB$

$\triangle BCD$ の内角の和は180度なので、

$\angle DBC + \angle BCD + \angle CDB = 180^\circ$

$54^\circ + \angle BCD + 180^\circ - \angle DCB = 180^\circ$

$\angle BCD = \angle BCA = \angle DCB + \angle DCB= 2 \angle DCB$なので、

$54^\circ + 2\angle DCB + 180^\circ - \angle DCB = 180^\circ$

$\angle DCB = -54^\circ$。

この考え方はおかしい。

$PD // BC$より、$\angle PDC = \angle DCB$ (錯角)。

$\angle ADC = \angle PDC$ (折り返し)。

したがって、$\angle ADC = \angle DCB$。

$\angle ADB = 180^{\circ}$ より、$\angle ADC + \angle CDB = 180^{\circ}$。

$\triangle DBC$ において、$\angle DBC + \angle BCD + \angle CDB = 180^{\circ}$。

したがって、$54^{\circ} + \angle BCD + \angle CDB = 180^{\circ}$。

$\angle BCD = \angle BCA$。$\angle BCA = \angle DCB$ とは限らない。

折り返しの性質より、$\angle PDC = \angle ADC$。

$PD // BC$ より、$\angle PDC = \angle DCB$ (錯角)。

$\angle ADC = \angle DCB$。

$\angle BDC = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - \angle DCB$

$\triangle DBC$ において、$\angle DBC = 54^{\circ}$ であるから、

$54^{\circ} + \angle DCB + 180^{\circ} - \angle DCB = 180^{\circ}$ これは意味がない。

$\angle DCB = x$ とすると、$\angle ADC = x$。

$\angle CDB = 180^{\circ} - x$。

$\angle BCD = x$ と仮定すると、$54^{\circ} + x + 180^{\circ} - x = 180^{\circ}$ となり、$54^\circ = 0$になってしまう。

三角形の内角の和を利用する。

$\triangle ABC$は折り返しにより$\triangle PDC$となる。

よって$\angle BAC = \angle DPC$

$\angle ABC=54^\circ$より、$\angle ACB + \angle BAC = 180-54=126^\circ$

$PD//BC$より同位角は等しいので$\angle PDC=\angle DCB$

$\angle CDP = \angle CDA$であるから$\angle CDA = \angle DCB$

よって$\triangle CDA$と$\triangle DCB$は相似となる。

したがって、$\triangle ABC$の$\angle A = 2\angle PDC$なので、$\angle ACB + \angle A = 126^\circより、\angle ACB= 126^\circ - \angle A= \angle BCD + \angle ACD$

$\angle A=2x = \angle CDA+\angle CDB=\angle CDA+\angle DCB$

$\angle BCD=27度$

$\angle ABC = 54^\circ$

$\angle PDC = \angle x$とおくと、$\angle ADC = x$

また$\angle DCB = x$。

$\triangle BCD$ を考えると, $54 + x+ \angle BDC = 180$

$\angle BDC = 126-x$

$126 -x+ \angle CDA = 180$

$\angle CDA= x$

$x=54/2=27^\circ$

3. 最終的な答え

27°