(3) 点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線を求める。 (4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求める。

1. 問題の内容

(3) 点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線を求める。

(4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求める。

2. 解き方の手順

(3) 円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式は $x_0 x + y_0 y = 1$ である。

この接線が点 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通るので、$\frac{\sqrt{3}}{3} x_0 + y_0 = 1$ が成り立つ。

また、$(x_0, y_0)$ は円上にあるので、$x_0^2 + y_0^2 = 1$ が成り立つ。

$y_0 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} x_0$ を $x_0^2 + y_0^2 = 1$ に代入すると、

$x_0^2 + (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} x_0)^2 = 1$

$x_0^2 + 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} x_0 + \frac{1}{3} x_0^2 = 1$

$\frac{4}{3} x_0^2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} x_0 = 0$

$x_0 (\frac{4}{3} x_0 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) = 0$

$x_0 = 0$ または $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x_0 = 0$ のとき、$y_0 = 1$。接線は $0 \cdot x + 1 \cdot y = 1$、つまり $y = 1$

$x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y_0 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。接線は $\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y = 1$、つまり $\sqrt{3} x + y = 2$

接線 $y = 1$ に対する法線は $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

接線 $\sqrt{3} x + y = 2$ に対する法線は $\frac{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{y - 1}{1}$、つまり $x - \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} y - \sqrt{3}$、すなわち $x - \sqrt{3} y = - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

(4) $z = f(x, y) = xy$ とする。

$f_x = y, f_y = x$

点 $(1, 1, 1)$ において、$f_x(1, 1) = 1, f_y(1, 1) = 1$

接平面の方程式は $z - f(1, 1) = f_x(1, 1) (x - 1) + f_y(1, 1) (y - 1)$

$z - 1 = 1 (x - 1) + 1 (y - 1)$

$z - 1 = x - 1 + y - 1$

$z = x + y - 1$

法線の方程式は $\frac{x - 1}{f_x(1, 1)} = \frac{y - 1}{f_y(1, 1)} = \frac{z - 1}{-1}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}$

$x - 1 = y - 1 = 1 - z$

$x = y, x + z = 2$

3. 最終的な答え

(3) 接線: $y=1$ および $\sqrt{3}x + y = 2$

法線: $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ および $x - \sqrt{3}y = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(4) 接平面: $z = x + y - 1$

法線: $x = y, x + z = 2$