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平行四辺形ABCDにおいて、以下の内積の値を求めます。 (ア) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (イ) $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$ (ウ) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}$ (エ) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

幾何学ベクトル内積平行四辺形三角比
2025/7/10

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、以下の内積の値を求めます。
(ア) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
(イ) CA→⋅CB→\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}
(ウ) BC→⋅CD→\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}
(エ) AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}

2. 解き方の手順

(ア) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
内積の定義より、
AB→⋅AC→=∣AB→∣∣AC→∣cos⁡∠BAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\angle BAC}
∣AB→∣=2|\overrightarrow{AB}| = 2
∣AC→∣=3|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3}
∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ
AB→⋅AC→=2⋅3⋅cos⁡30∘\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{30^\circ}
cos⁡30∘=32\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}
AB→⋅AC→=2⋅3⋅32=3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3
(イ) CA→⋅CB→\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}
内積の定義より、
CA→⋅CB→=∣CA→∣∣CB→∣cos⁡∠ACB\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \cos{\angle ACB}
∣CA→∣=3|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{3}
∣CB→∣=1|\overrightarrow{CB}| = 1
∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ
CA→⋅CB→=3⋅1⋅cos⁡90∘\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos{90^\circ}
cos⁡90∘=0\cos{90^\circ} = 0
CA→⋅CB→=3⋅1⋅0=0\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \sqrt{3} \cdot 1 \cdot 0 = 0
(ウ) BC→⋅CD→\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}
CD→=BA→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}なので、
BC→⋅CD→=BC→⋅BA→\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}
内積の定義より、
BC→⋅BA→=∣BC→∣∣BA→∣cos⁡∠CBA\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{BC}| |\overrightarrow{BA}| \cos{\angle CBA}
∣BC→∣=1|\overrightarrow{BC}| = 1
∣BA→∣=2|\overrightarrow{BA}| = 2
∠CBA=60∘\angle CBA = 60^\circ
BC→⋅CD→=1⋅2⋅cos⁡60∘\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \cdot 2 \cdot \cos{60^\circ}
cos⁡60∘=12\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}
BC→⋅CD→=1⋅2⋅12=1\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1
(エ) AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
内積の定義より、
AB→⋅BC→=∣AB→∣∣BC→∣cos⁡∠ABC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}| \cos{\angle ABC}
∣AB→∣=2|\overrightarrow{AB}| = 2
∣BC→∣=1|\overrightarrow{BC}| = 1
∠ABC=180∘−60∘=120∘\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
AB→⋅BC→=2⋅1⋅cos⁡120∘\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot 1 \cdot \cos{120^\circ}
cos⁡120∘=−12\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}
AB→⋅BC→=2⋅1⋅(−12)=−1\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1

3. 最終的な答え

(1): 3
(2): 0
(3): 1
(4): -1

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## 1. 問題の内容

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