(1) $3^{2034}$ を12で割った余りを求める。 (2) 3つの数 $n$, $2n+1$, $4n+1$ がすべて素数となるような $n$ を求める。$n$ は素数であるから、$n$ はある整数以上であり、$n$ は自然数 $k$ を用いて $3k$, $3k+1$, $3k-1$ のいずれかで表せる。それぞれのケースについて、$n, 2n+1, 4n+1$ がすべて素数となる $n$ を求め、最終的な $n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $3^{2034}$ を12で割った余りを求める。

(2) 3つの数 $n$, $2n+1$, $4n+1$ がすべて素数となるような $n$ を求める。$n$ は素数であるから、$n$ はある整数以上であり、$n$ は自然数 $k$ を用いて $3k$, $3k+1$, $3k-1$ のいずれかで表せる。それぞれのケースについて、$n, 2n+1, 4n+1$ がすべて素数となる $n$ を求め、最終的な $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$ である。

$3^1 \equiv 3 \pmod{12}$, $3^2 \equiv 9 \pmod{12}$, $3^3 \equiv 3 \pmod{12}$, $3^4 \equiv 9 \pmod{12}$, $3^5 \equiv 3 \pmod{12}$

$3^n \pmod{12}$ は $n$ が奇数のとき 3, $n$ が偶数のとき 9 となる。

$2034$ は偶数なので、$3^{2034} \equiv 9 \pmod{12}$

したがって、余りは 9 である。

(2) $n$ は素数なので、$n$ は 2 以上の整数である。$n$ は $3k$, $3k+1$, $3k-1$ のいずれかで表せる。

(i) $n=3k$ のとき、$n$ が素数になるのは $k=1$ のときのみ。すなわち、$n=3$ のときに限る。

このとき、$2n+1 = 2(3)+1 = 7$, $4n+1 = 4(3)+1 = 13$ となり、いずれも素数となる。

(ii) $n=3k+1$ のとき、$2n+1 = 2(3k+1)+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$

$k$ は自然数より、$2k+1$ は 3 以上の整数であるから、$2n+1$ は素数ではない。

(iii) $n=3k-1$ のとき、$4n+1 = 4(3k-1)+1 = 12k-3 = 3(4k-1)$

$k$ は自然数より、$4k-1$ は 3 以上の整数であるから、$4n+1$ は素数ではない。

(i)〜(iii) より、$n, 2n+1, 4n+1$ がすべて素数となるような $n$ は、$n=3$ のみである。

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) 2, 1, 1, 7, 13, 1, 3