$R^2$ 上の3点 $O(0, 0)$, $P(3, 1)$, $Q(1, 4)$ が与えられている。点 $Q$ から直線 $OP$ に下ろした垂線の足 $D$ の座標を内積を使って計算する。

## 問題３の解答

1. 問題の内容

$R^2$ 上の3点 $O(0, 0)$, $P(3, 1)$, $Q(1, 4)$ が与えられている。点 $Q$ から直線 $OP$ に下ろした垂線の足 $D$ の座標を内積を使って計算する。

2. 解き方の手順

1. 直線 $OP$ の方向ベクトルを $\vec{v}$ とする。この場合、$\vec{v} = \vec{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

2. 点 $D$ は直線 $OP$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて $\vec{OD} = t\vec{OP} = t\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t \\ t \end{pmatrix}$ と表せる。

3. $\vec{QD}$ は直線 $OP$ と垂直なので、$\vec{QD} \cdot \vec{OP} = 0$ が成り立つ。

4. $\vec{QD} = \vec{OD} - \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 3t \\ t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3t - 1 \\ t - 4 \end{pmatrix}$

5. $\vec{QD} \cdot \vec{OP} = \begin{pmatrix} 3t - 1 \\ t - 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = (3t - 1) \cdot 3 + (t - 4) \cdot 1 = 0$

6. $9t - 3 + t - 4 = 0$ より、$10t - 7 = 0$ となり、$t = \frac{7}{10}$ を得る。

7. よって、$\vec{OD} = \frac{7}{10} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{21}{10} \\ \frac{7}{10} \end{pmatrix}$。

8. したがって、点 $D$ の座標は $(\frac{21}{10}, \frac{7}{10})$ となる。

3. 最終的な答え

点 $D$ の座標は $(\frac{21}{10}, \frac{7}{10})$ である。