三角形ABCにおいて、Aから辺BCへ下ろした垂線をAHとする。BH = 5, CH = 3, 三角形ABCの面積は24である。 (1) 線分AHの長さを求めよ。 (2) sinCを求めよ。 (3) sinAを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、Aから辺BCへ下ろした垂線をAHとする。BH = 5, CH = 3, 三角形ABCの面積は24である。

(1) 線分AHの長さを求めよ。

(2) sinCを求めよ。

(3) sinAを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AHの長さを求める。

三角形ABCの面積は、底辺BCと高さAHを用いて表すことができる。

BC = BH + CH = 5 + 3 = 8

三角形ABCの面積 = (1/2) * BC * AH

$24 = (1/2) * 8 * AH$

$24 = 4 * AH$

$AH = 6$

(2) sinCを求める。

三角形AHCは直角三角形である。AH = 6, CH = 3であるから、三平方の定理よりACの長さを求める。

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$AC^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$

$AC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

sinC = AH / AC = $6 / (3\sqrt{5}) = 2 / \sqrt{5} = (2\sqrt{5}) / 5$

(3) sinAを求める。

三角形ABHは直角三角形である。AH = 6, BH = 5であるから、三平方の定理よりABの長さを求める。

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$AB^2 = 6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61$

$AB = \sqrt{61}$

三角形ABCの面積は $1/2 * AB * AC * sinA$とも表せるので、$24 = 1/2 * \sqrt{61} * 3\sqrt{5} * sinA$

$48 = 3\sqrt{305} * sinA$

$sinA = 16 / \sqrt{305} = (16\sqrt{305})/305$

3. 最終的な答え

(1) AH = 6

(2) sinC = $(2\sqrt{5})/5$

(3) sinA = $(16\sqrt{305})/305$