一辺の長さが2の正三角形ABCがある。頂点Aから対辺BCに垂線AHを下ろすとき、以下の値を求める。 (1) AHの長さ (2) BHの長さ (3) 正三角形ABCの面積

幾何学正三角形三平方の定理三角比傾斜角高さ面積
2025/7/24
はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、問題89から問題91までを解きます。
**問題89**

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正三角形ABCがある。頂点Aから対辺BCに垂線AHを下ろすとき、以下の値を求める。
(1) AHの長さ
(2) BHの長さ
(3) 正三角形ABCの面積

2. 解き方の手順

(1) AHの長さ
正三角形ABCにおいて、AHはBCに対する垂線なので、HはBCの中点となる。
したがって、三角形ABHは直角三角形である。
三平方の定理より、AB2=AH2+BH2AB^2 = AH^2 + BH^2
AH=AB2BH2AH = \sqrt{AB^2 - BH^2}
AB=2AB=2, BH=1BH=1であるから、AH=2212=41=3AH = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}
(2) BHの長さ
HはBCの中点なので、BH=12BC=12×2=1BH = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 2 = 1
(3) 正三角形ABCの面積
正三角形の面積の公式より、
正三角形の面積 = 34×(一辺の長さ)2\frac{\sqrt{3}}{4} \times (一辺の長さ)^2
したがって、正三角形ABCの面積 = 34×22=34×4=3\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}
または、三角形の面積= (底辺 x 高さ)/2 で計算すると、BC=2、AH= 3\sqrt{3}なので、面積は23/2=32 \sqrt{3} / 2 = \sqrt{3}

3. 最終的な答え

(1) AH=3AH = \sqrt{3}
(2) BH=1BH = 1
(3) 正三角形ABCの面積 = 3\sqrt{3}
**問題90**

1. 問題の内容

傾斜角30°の坂道をまっすぐに100m登ったとき、鉛直方向に何m登ったか、また、水平方向には何m進んだかを求める。

2. 解き方の手順

傾斜角30°の坂道を100m登ったとき、鉛直方向の移動距離は100×sin30100 \times \sin{30^\circ} で求められる。また、水平方向の移動距離は100×cos30100 \times \cos{30^\circ}で求められる。
sin30=12\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}
cos30=32\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}
したがって、鉛直方向の移動距離は100×12=50100 \times \frac{1}{2} = 50m。
水平方向の移動距離は100×32=503100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}m。

3. 最終的な答え

鉛直方向の移動距離 = 50m
水平方向の移動距離 = 50350\sqrt{3}m
**問題91**

1. 問題の内容

平地に立っている木の根元から10m離れた地点に立って木の先端を見上げたとき、水平面とのなす角が30°であった。目の高さを1.7mとするとき、木の高さを求める。

2. 解き方の手順

木を見上げた角度が30°であることから、木の目の高さから上の部分の高さを求める。木の目の高さから上の部分の高さをhhとすると、
tan30=h10\tan{30^\circ} = \frac{h}{10}
h=10×tan30=10×13=103=1033h = 10 \times \tan{30^\circ} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}
したがって、木の高さは h+1.7=1033+1.7h + 1.7 = \frac{10\sqrt{3}}{3} + 1.7

3. 最終的な答え

木の高さ = 1033+1.7\frac{10\sqrt{3}}{3} + 1.7 m

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