問題93：$\sin \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする。 問題94：$\tan \theta = 2\sqrt{2}$のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ。ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする。

1. 問題の内容

問題93：$\sin \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする。

問題94：$\tan \theta = 2\sqrt{2}$のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ。ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする。

2. 解き方の手順

問題93：

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$の関係を利用して、$\cos \theta$を求める。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$なので、$\cos \theta > 0$。

$\cos \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$の関係を利用して、$\tan \theta$を求める。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

問題94：

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2\sqrt{2}$より、$\sin \theta = 2\sqrt{2} \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$の関係を利用する。

$(2\sqrt{2}\cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$8\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$9\cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$なので、$\cos \theta > 0$。

$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

$\sin \theta = 2\sqrt{2} \cos \theta = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

問題93：

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$

問題94：

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \theta = \frac{1}{3}$