双曲線 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ の頂点と焦点を求め、空欄 (10) と (11) に当てはまる数字を答える。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ の頂点と焦点を求め、空欄 (10) と (11) に当てはまる数字を答える。

2. 解き方の手順

双曲線の標準形は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ であり、この問題では $a^2 = 16$ かつ $b^2 = 9$ である。

したがって、$a = 4$ かつ $b = 3$ となる。

頂点は $(\pm a, 0)$ で表されるので、この双曲線の頂点は $(\pm 4, 0)$ である。

焦点は $(\pm c, 0)$ で表され、$c$ は $c^2 = a^2 + b^2$ を満たす。

$c^2 = 16 + 9 = 25$ なので、$c = 5$ となる。

したがって、この双曲線の焦点は $(\pm 5, 0)$ である。

問題文では焦点は ((10), 0), (-(10), 0) と、頂点は ((11), 0), (-(11), 0) と表されているので、

(10) には $c = 5$ が入り、(11) には $a = 4$ が入る。

3. 最終的な答え

(10): 5

(11): 4