$\triangle OAB$ において、$OA = 2\sqrt{2}$, $OB = \sqrt{3}$, $OA \cdot OB = 2$ である。$\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ とすると、点Hが辺AB上にあるとき、$s+t=1$ である。さらに、$\vec{OH} \perp \vec{AB}$ ならば、$2s - t = $ (空欄)である。また、$\vec{OH} = \frac{\Box}{5}\vec{OA} + \frac{\Box}{5}\vec{OB}$ となる。空欄を埋める問題。

幾何学ベクトル内積三角形線分
2025/7/10

1. 問題の内容

OAB\triangle OAB において、OA=22OA = 2\sqrt{2}, OB=3OB = \sqrt{3}, OAOB=2OA \cdot OB = 2 である。OH=sOA+tOB\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB} とすると、点Hが辺AB上にあるとき、s+t=1s+t=1 である。さらに、OHAB\vec{OH} \perp \vec{AB} ならば、2st=2s - t = (空欄)である。また、OH=5OA+5OB\vec{OH} = \frac{\Box}{5}\vec{OA} + \frac{\Box}{5}\vec{OB} となる。空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、点Hが辺AB上にあるので、s+t=1s+t=1 が成り立つ。次に、OHAB\vec{OH} \perp \vec{AB} より、OHAB=0\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0 である。AB=OBOA\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} であるから、OH(OBOA)=0\vec{OH} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0 である。
(OHOB)(OHOA)=0(\vec{OH} \cdot \vec{OB}) - (\vec{OH} \cdot \vec{OA}) = 0
(sOA+tOB)OB(sOA+tOB)OA=0(s\vec{OA} + t\vec{OB}) \cdot \vec{OB} - (s\vec{OA} + t\vec{OB}) \cdot \vec{OA} = 0
s(OAOB)+tOB2sOA2t(OAOB)=0s(\vec{OA} \cdot \vec{OB}) + t|\vec{OB}|^2 - s|\vec{OA}|^2 - t(\vec{OA} \cdot \vec{OB}) = 0
s(2)+t(3)s(8)t(2)=0s(2) + t(3) - s(8) - t(2) = 0
2s+3t8s2t=02s + 3t - 8s - 2t = 0
6s+t=0-6s + t = 0
t=6st = 6s
s+t=1s+t = 1 より、 s+6s=1s+6s=1, 7s=17s = 1, s=17s = \frac{1}{7}
t=6s=6(17)=67t = 6s = 6(\frac{1}{7}) = \frac{6}{7}
2st2s-t の値を求めます。
2st=2(17)67=2767=472s - t = 2(\frac{1}{7}) - \frac{6}{7} = \frac{2}{7} - \frac{6}{7} = -\frac{4}{7}
したがって、2st=472s-t = -\frac{4}{7} ではないので、計算が間違っている。
OHAB=0\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0 を使って考える。
(sOA+tOB)(OBOA)=0(s\vec{OA} + t\vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0
sOAOBsOA2+tOB2tOAOB=0s\vec{OA}\cdot \vec{OB} - s|\vec{OA}|^2 + t|\vec{OB}|^2 - t\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0
s(2)s(8)+t(3)t(2)=0s(2) - s(8) + t(3) - t(2) = 0
2s8s+3t2t=02s - 8s + 3t - 2t = 0
6s+t=0-6s + t = 0
t=6st = 6s
s+t=1s+t = 1 より t=1st = 1-s
1s=6s1-s = 6s
1=7s1 = 7s
s=17s = \frac{1}{7}
t=67t = \frac{6}{7}
OH=17OA+67OB\vec{OH} = \frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB}
2st=2(17)67=267=472s-t = 2(\frac{1}{7}) - \frac{6}{7} = \frac{2-6}{7} = -\frac{4}{7}
問題文の条件は、
s+t=1s+t=1
2st=2s-t = \Box
AB=OBOA\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}
OHAB=0\vec{OH} \cdot \vec{AB}=0
(sOA+tOB)(OBOA)=0(s\vec{OA} + t\vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0
sOAOBsOA2+tOB2tOAOB=0s \vec{OA}\cdot\vec{OB}-s|\vec{OA}|^2 + t|\vec{OB}|^2 - t\vec{OA}\cdot\vec{OB} = 0
2s8s+3t2t=02s - 8s + 3t - 2t = 0
6s+t=0-6s + t = 0
t=6st = 6s
s+t=1s+t = 1
s+6s=1s+6s = 1
7s=17s = 1
s=1/7,t=6/7s=1/7, t=6/7
2st=2/76/7=4/72s-t = 2/7 - 6/7 = -4/7
よって、s=17s = \frac{1}{7}t=67t = \frac{6}{7}
OH=17OA+67OB\vec{OH} = \frac{1}{7} \vec{OA} + \frac{6}{7} \vec{OB}
s+t=1s+t=1 より s=1ts=1-t
2st=2(1t)t=23t2s-t=2(1-t)-t = 2-3t
6s+t=0-6s+t = 0 より t=6st = 6s なので 2st=2s6s=4s2s-t = 2s - 6s = -4s.
OH=17OA+67OB\vec{OH} = \frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB} なので、OHAB=0\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0 より
(17OA+67OB)(OBOA)=0(\frac{1}{7} \vec{OA} + \frac{6}{7} \vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0
17OAOB17OA2+67OB267OAOB=0\frac{1}{7} \vec{OA}\cdot\vec{OB} - \frac{1}{7}|\vec{OA}|^2 + \frac{6}{7}|\vec{OB}|^2 - \frac{6}{7} \vec{OA}\cdot\vec{OB} = 0
17(2)17(8)+67(3)67(2)=28+18127=0\frac{1}{7}(2) - \frac{1}{7}(8) + \frac{6}{7}(3) - \frac{6}{7}(2) = \frac{2-8+18-12}{7}=0
条件より、2st=k2s - t = k とおくと、
s+t=1s+t = 1
2st=k2s-t = k
足し合わせると、3s=1+k3s = 1+k より s=1+k3s = \frac{1+k}{3}
引き算すると、2t=1k2t = 1-k より t=1k2t = \frac{1-k}{2}
これらを OH=45OA+15OB\vec{OH} = \frac{4}{5}\vec{OA} + \frac{1}{5}\vec{OB} と比較する。問題文が間違っている気がする。
もしOH=45OA+15OB\vec{OH} = \frac{4}{5}\vec{OA} + \frac{1}{5}\vec{OB} なら、s=45s = \frac{4}{5}, t=15t = \frac{1}{5}
s+t=1s+t=1 は満たさないのでそもそも辺AB上にHがない。
1+k3=45\frac{1+k}{3} = \frac{4}{5}, 5(1+k)=125(1+k)=12, 5+5k=125+5k=12, 5k=75k=7, k=75k=\frac{7}{5}
1k2=15\frac{1-k}{2} = \frac{1}{5}, 5(1k)=25(1-k)=2, 55k=25-5k=2, 5k=35k=3, k=35k=\frac{3}{5}
問題文に写し間違いがある気がする。OAOB=2OA \cdot OB=2 ではなく OAOB=4OA \cdot OB=4 であれば、s=1/5,t=4/5s=1/5, t=4/5 となり、2st=2/54/5=2/52s-t = 2/5 - 4/5 = -2/5

3. 最終的な答え

s+t=1s+t = 1
2st=4/72s - t = -4/7
OH=17OA+67OB\vec{OH} = \frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB}

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