$\triangle OAB$ において、$OA = 2\sqrt{2}$, $OB = \sqrt{3}$, $OA \cdot OB = 2$ である。$\vec{OH} = s \vec{OA} + t \vec{OB}$ とすると、点 $H$ が辺 $AB$ 上にあるとき、$s+t$ の値を求める。さらに、$\vec{OH} \perp \vec{AB}$ ならば、$a s - t = b$ の $a,b$ を求め、$s$と$t$を計算して$\vec{OH}$を表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA = 2\sqrt{2}$, $OB = \sqrt{3}$, $OA \cdot OB = 2$ である。$\vec{OH} = s \vec{OA} + t \vec{OB}$ とすると、点 $H$ が辺 $AB$ 上にあるとき、$s+t$ の値を求める。さらに、$\vec{OH} \perp \vec{AB}$ ならば、$a s - t = b$ の $a,b$ を求め、$s$と$t$を計算して$\vec{OH}$を表す。

2. 解き方の手順

(1) 点 $H$ が辺 $AB$ 上にあるとき、 $s + t = 1$ である。

(2) $\vec{OH} \perp \vec{AB}$ なので、 $\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$ である。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ なので、

$\vec{OH} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$

$(s \vec{OA} + t \vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$

$s \vec{OA} \cdot \vec{OB} - s |\vec{OA}|^2 + t |\vec{OB}|^2 - t \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

$s (2) - s (2\sqrt{2})^2 + t (\sqrt{3})^2 - t (2) = 0$

$2s - 8s + 3t - 2t = 0$

$-6s + t = 0$

$6s - t = 0$

よって、$6s - t = 0$

(3) $s + t = 1$ と $6s - t = 0$ を解く。

$s + t = 1$ より $t = 1 - s$

$6s - (1 - s) = 0$

$6s - 1 + s = 0$

$7s = 1$

$s = \frac{1}{7}$

$t = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

したがって、$\vec{OH} = \frac{1}{7} \vec{OA} + \frac{6}{7} \vec{OB}$

3. 最終的な答え

$s + t = 1$

$6s - t = 0$

$\vec{OH} = \frac{1}{7} \vec{OA} + \frac{6}{7} \vec{OB}$