与えられた問題は、極限の計算、関数の連続性、微分可能性、導関数の計算に関する問題を含む、微積分学の小テストです。具体的には、以下の問題が含まれています。 1. 極限を求める問題 (2問)

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限の計算、関数の連続性、微分可能性、導関数の計算に関する問題を含む、微積分学の小テストです。具体的には、以下の問題が含まれています。

1. 極限を求める問題 (2問)

2. 関数の極限と連続性を調べる問題

3. 三角関数を含む極限を求める問題

4. 関数の導関数を求める問題 (2問)

5. 合成関数の導関数を求める問題 (2問)

6. 逆三角関数の導関数を求める問題

7. 関数の連続性を利用して定数を決定する問題

8. 区分的に定義された関数の連続性と微分可能性を調べる問題

9. 関数の滑らかさを示す問題

2. 解き方の手順

各問題の解き方を個別に示します。

1. 極限を求める問題

(1) $\lim_{x \to 3} \frac{x}{ (x-3)^2 }$

$x$ が 3 に近づくと、分子は 3 に近づき、分母は 0 に近づきます。$(x-3)^2$ は常に正の値を取るので、この極限は正の無限大に発散します。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 5x}{2x^2}$

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + \frac{5}{x}}{2}$

$x$ が無限大に近づくと、$\frac{5}{x}$ は 0 に近づきます。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{2} = \lim_{x \to \infty} 2x = \infty$

よって、この極限は正の無限大に発散します。

2. 関数の極限と連続性を調べる問題

$f(x) = \frac{|x-2|(x-3)}{x-2}$ (ただし $x \neq 2$)

$x > 2$ のとき、$|x-2| = x-2$ であるから、

$\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = \lim_{x \to 2+0} (x-3) = 2-3 = -1$

$x < 2$ のとき、$|x-2| = -(x-2)$ であるから、

$\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} \frac{-(x-2)(x-3)}{x-2} = \lim_{x \to 2-0} -(x-3) = -(2-3) = 1$

3. 三角関数を含む極限を求める問題

$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) \tan(\frac{1}{x})$

$\tan(\frac{1}{x}) = \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\cos(\frac{1}{x})}$ を用いて、

$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\cos(\frac{1}{x})} = \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x})$

$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$ であるから、$-|x| \leq x \sin(\frac{1}{x}) \leq |x|$ が成り立つ。

$\lim_{x \to 0} |x| = 0$ であるから、挟み撃ちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$

4. 関数の導関数を求める問題

(1) $y = x^2 \sin x$

積の微分法を用いる。

$y' = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$

(2) $y = \frac{x^3}{e^x}$

商の微分法を用いる。

$y' = \frac{(x^3)' e^x - x^3 (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{3x^2 e^x - x^3 e^x}{e^{2x}} = \frac{x^2 (3 - x)}{e^x}$

5. 合成関数の導関数を求める問題

(1) $y = (x^2 + 1)^{100}$

合成関数の微分法を用いる。

$y' = 100 (x^2 + 1)^{99} (x^2 + 1)' = 100 (x^2 + 1)^{99} (2x) = 200x (x^2 + 1)^{99}$

(2) $y = x - \log(x^2 + 2x)$

$y' = 1 - \frac{1}{x^2 + 2x} (x^2 + 2x)' = 1 - \frac{2x + 2}{x^2 + 2x} = 1 - \frac{2(x + 1)}{x(x + 2)} = \frac{x(x+2) - 2(x+1)}{x(x+2)} = \frac{x^2 - 2}{x(x+2)}$

6. 逆三角関数の導関数を求める問題

$y = \arctan(2x)$ ($\arctan$ は $\tan^{-1}$ と同じ意味)

$y' = \frac{1}{1 + (2x)^2} (2x)' = \frac{2}{1 + 4x^2}$

7. 関数の連続性を利用して定数を決定する問題

$f(x) = \frac{x^2 + a}{x + 1}$ ($x \neq -1$)

(1) $f(x)$ が $x = -1$ で連続であるためには、$\lim_{x \to -1} f(x)$ が存在し、その値が $f(-1)$ に等しい必要があります。

$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + a}{x + 1}$

この極限が存在するためには、分子が $x = -1$ で 0 になる必要があります。

すなわち、 $(-1)^2 + a = 0$ より、$1 + a = 0$, よって $a = -1$。

(2) $a = -1$ のとき、$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x - 1$ ($x \neq -1$)

したがって、$f(-1) = -1 - 1 = -2$ と定義すれば、$f(x)$ は連続関数になります。

8. 区分的に定義された関数の連続性と微分可能性を調べる問題

$f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2}{|x|} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

(1) $x > 0$ のとき、$f(x) = \frac{3x^2}{x} = 3x$

$x < 0$ のとき、$f(x) = \frac{3x^2}{-x} = -3x$

右極限: $\lim_{x \to 0+0} f(x) = \lim_{x \to 0+0} 3x = 0$

左極限: $\lim_{x \to 0-0} f(x) = \lim_{x \to 0-0} -3x = 0$

$f(0) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0+0} f(x) = \lim_{x \to 0-0} f(x) = f(0) = 0$ であるから、$f(x)$ は $x = 0$ で連続です。

(2) 右側微分係数:

$\lim_{h \to 0+0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0+0} \frac{3h - 0}{h} = \lim_{h \to 0+0} 3 = 3$

左側微分係数:

$\lim_{h \to 0-0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0-0} \frac{-3h - 0}{h} = \lim_{h \to 0-0} -3 = -3$

右側微分係数と左側微分係数が異なるため、$f(x)$ は $x = 0$ で微分可能ではありません。

9. 関数の滑らかさを示す問題

$f(x) = -\sin x$ が $C^\infty$ 級関数であること、つまり、任意の回数微分可能であることを示す。

$f'(x) = -\cos x$

$f''(x) = \sin x$

$f'''(x) = \cos x$

$f^{(4)}(x) = -\sin x$

このように、$f(x)$ を何回微分しても、$\sin x$ または $\cos x$ の関数になり、これらは任意の $x$ で微分可能です。したがって、$f(x) = -\sin x$ は $C^\infty$ 級関数です。

3. 最終的な答え

1. (1) $\infty$ (2) $\infty$

2. $\lim_{x \to 2+0} f(x) = -1$, $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 1$

3. 0

4. (1) $y' = 2x \sin x + x^2 \cos x$ (2) $y' = \frac{x^2(3-x)}{e^x}$

5. (1) $y' = 200x(x^2+1)^{99}$ (2) $y' = \frac{x^2-2}{x(x+2)}$

6. $y' = \frac{2}{1+4x^2}$

7. (1) $a = -1$ (2) $f(-1) = -2$

8. (1) 連続である (2) 微分可能ではない

9. $f(x) = -\sin x$ は $C^\infty$ 級関数である (証明は上記参照)