与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列の各項は、$\frac{1}{2\cdot5}, \frac{1}{5\cdot8}, \frac{1}{8\cdot11}, \frac{1}{11\cdot14}, \frac{1}{14\cdot17}, \dots$ となっています。

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列の各項は、$\frac{1}{2\cdot5}, \frac{1}{5\cdot8}, \frac{1}{8\cdot11}, \frac{1}{11\cdot14}, \frac{1}{14\cdot17}, \dots$ となっています。

2. 解き方の手順

この数列の一般項を求め、部分分数分解を利用して和を計算します。

まず、数列の第 $k$ 項を考えます。分母の積の最初の数は $2 + (k-1) \cdot 3 = 3k - 1$ と表せ、2番目の数は $5 + (k-1) \cdot 3 = 3k + 2$ と表せます。したがって、第 $k$ 項 $a_k$ は

$a_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$

と表せます。

次に、この分数を部分分数分解します。

$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{A}{3k-1} + \frac{B}{3k+2}$

両辺に $(3k-1)(3k+2)$ をかけると、

$1 = A(3k+2) + B(3k-1)$

$1 = (3A+3B)k + (2A-B)$

これが任意の $k$ について成り立つためには、

$3A + 3B = 0$

$2A - B = 1$

という連立方程式を解けばよいです。

$A = -B$ なので、

$2A - (-A) = 1$

$3A = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$B = -\frac{1}{3}$

よって、

$a_k = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}\right)$

となります。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}\right) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}\right)$

$=\frac{1}{3} \left[\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{11}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}\right)\right]$

$=\frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2}\right)$

$=\frac{1}{3} \left(\frac{3n+2-2}{2(3n+2)}\right)$

$=\frac{1}{3} \left(\frac{3n}{2(3n+2)}\right)$

$=\frac{n}{2(3n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{6n+4}$