関数 $f(x, y) = (x - y) \log|1 + 3x + 2y|$ が与えられています。この関数を積分を用いて表現し、さらに級数展開することで別の表現を求める問題です。具体的には、$\log(1+t)$ の積分表示と、幾何級数展開を利用しています。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = (x - y) \log|1 + 3x + 2y|$ が与えられています。この関数を積分を用いて表現し、さらに級数展開することで別の表現を求める問題です。具体的には、$\log(1+t)$ の積分表示と、幾何級数展開を利用しています。

2. 解き方の手順

以下の手順で問題を解きます。

ステップ1: 対数関数の積分による表現

$\log(1+t)$ は積分を用いて次のように表現できます。

$\log(1+t) = \int_0^t \frac{1}{1+u} du$

したがって、$f(x, y)$ の対数部分にこの積分表示を適用すると、

$f(x, y) = (x - y) \int_0^{3x + 2y} \frac{1}{1+t} dt$

ステップ2: 被積分関数の級数展開

$\frac{1}{1+t}$ は、 $|t| < 1$ の範囲で次のように級数展開できます。

$\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^k$

ステップ3: 積分計算

ステップ2の級数展開をステップ1の積分に代入し、積分を実行します。

$\int_0^{3x + 2y} \frac{1}{1+t} dt = \int_0^{3x + 2y} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^k dt$

積分と総和の順序を交換すると、

$= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \int_0^{3x + 2y} t^k dt$

$= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left[ \frac{t^{k+1}}{k+1} \right]_0^{3x + 2y}$

$= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{(3x + 2y)^{k+1}}{k+1}$

ステップ4: 関数の表現

ステップ3の結果を $f(x, y)$ の表現に代入します。

$f(x, y) = (x - y) \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{(3x + 2y)^{k+1}}{k+1}$

3. 最終的な答え

$f(x, y) = (x - y) \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{(3x + 2y)^{k+1}}{k+1}$