単語 "mathematics" から任意に4文字を選んで作られる順列の数を求める問題です。

1. 問題の内容

単語 "mathematics" から任意に4文字を選んで作られる順列の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、単語 "mathematics" に含まれる各文字の数を数えます。

* m: 2個

* a: 2個

* t: 2個

* h: 1個

* e: 1個

* i: 1個

* c: 1個

* s: 1個

次に、4文字の選び方を、重複する文字の数で場合分けして考えます。

(1) 4文字全てが異なる場合：

7種類（m, a, t, h, e, i, c, s から h,e,i,c,s の5個) から4文字を選ぶので、${}_7 P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ 通り。

(2) 2文字が同じで、残りの2文字が異なる場合：

同じ文字を選ぶ方法は3通り（m, a, t）。

残りの異なる2文字は、同じ文字を除いた6種類から2つを選ぶので、${}_6 P_2 = 6 \times 5 = 30$ 通り。

したがって、$3 \times 30 = 90$通り。

並べ方は $\frac{4!}{2!} = 12$ 通り。

よって、$90 \times 12 = 1080$ 通り。

(3) 2文字が同じものが2組ある場合：

同じ文字を選ぶ方法は、3種類（m, a, t）から2つを選ぶので、${}_3 C_2 = 3$ 通り。

並べ方は $\frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り。

よって、$3 \times 6 = 18$ 通り。

(4) 3文字が同じになることはありません。

(5) 4文字のうち2文字が同じものが1種類で、残りの文字のうち2文字が同じものが1種類ある場合：

2文字が同じものが1種類で、残りの2文字が異なる場合で場合分けした時と同様に、$\frac{4!}{2!} = 12$通り

異なる2文字は、同じ文字を除いた6種類から2つを選ぶので、${}_6 P_2 = 6 \times 5 = 30$ 通り。

したがって、$3 \times 30 = 90$通り。

よって、$90 \times 12 = 1080$ 通り。

(6) 同じ文字が3つある場合、mathematicsには存在しないので考慮しません。

(7) 同じ文字が4つある場合、mathematicsには存在しないので考慮しません。

すべての組み合わせの数を足し合わせます。

$840 + 1080 + 18 = 1938$

3. 最終的な答え

1938通り