$y = \log x$ を $x=1$ で5次の項までテーラー展開せよ。剰余項は考えない。

## 問題番号2

1. 問題の内容

$y = \log x$ を $x=1$ で5次の項までテーラー展開せよ。剰余項は考えない。

2. 解き方の手順

テーラー展開は一般に、関数 $f(x)$ を点 $a$ の周りで展開するとき、

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$

と表されます。

今回の問題では、$f(x) = \log x$、$a = 1$ なので、まず $f(x)$ の1階から5階までの導関数を求めます。

* $f(x) = \log x$

* $f'(x) = \frac{1}{x}$

* $f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

* $f'''(x) = \frac{2}{x^3}$

* $f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}$

* $f^{(5)}(x) = \frac{24}{x^5}$

次に、$x = 1$ におけるこれらの導関数の値を計算します。

* $f(1) = \log 1 = 0$

* $f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

* $f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$

* $f'''(1) = \frac{2}{1^3} = 2$

* $f^{(4)}(1) = -\frac{6}{1^4} = -6$

* $f^{(5)}(1) = \frac{24}{1^5} = 24$

これらの値をテーラー展開の公式に代入します。

$f(x) \approx f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x-1)^4 + \frac{f^{(5)}(1)}{5!}(x-1)^5$

$\log x \approx 0 + 1(x-1) + \frac{-1}{2}(x-1)^2 + \frac{2}{6}(x-1)^3 + \frac{-6}{24}(x-1)^4 + \frac{24}{120}(x-1)^5$

$\log x \approx (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5$

3. 最終的な答え

$\log x \approx (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5$